第七章 假设检验

7.1 设总体??N(?,?2)，其中参数?，?2为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：

（1）H0:??0,??1； （2）H0:??0,??1； （3）H0:??3,??1； （4）H0:0???3； （5）H0:??0.

解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设?1,?2,,?25取自正态总体N(?,9)，其中参数?未知，x是子样均值，如对检验问题

,x25):|x??0|?c}，试决定常数c，使检验的显著性

H0:???0,H1:???0取检验的拒绝域：c?{(x1,x2,水平为0.05

解：因为??N(?,9)，故??N(?,在H0成立的条件下，

9) 25P0(|???0|?c)?P(|???035c|?)53

5c???2?1??()??0.053???(5c5c)?0.975,?1.96，所以c=1.176。 3322已知，对假设检验H0:???0,H1:???0，取临界域,?25取自正态总体N(?,?0)，?07.3 设子样?1,?2,c?{(x1,x2,,xn):|??c0}，

（1）求此检验犯第一类错误概率为?时，犯第二类错误的概率?，并讨论它们之间的关系；

2（2）设?0=0.05，?0=0.004，?=0.05，n=9，求?=0.65时不犯第二类错误的概率。

2?0解：（1）在H0成立的条件下，??N(?0,n)，此时

????0?c??0 ??P0(??c0)?P0?n?0n?

?0??0?

1

所以，c0??0?n??1??，由此式解出c0??0???0

0n?1?在H1成立的条件下，??N(?,?20n)，此时

??P????c0??1(??c0)?P1???n??n??00??0?1????0????(c0???n)??(n?n)

00??(?1??????0?n)0由此可知，当?增加时，?1??减小，从而?减小；反之当?减少时，则?增加。 （2）不犯第二类错误的概率为

1???1??(????01????n)0

?1??(?0.65?0.500.95?0.23) ?1??(?0.605)??(0.605)?0.72747.4 设一个单一观测的?子样取自分布密度函数为f(x)的母体，对f(x)考虑统计假设：H:f??10?x?100(x)?H?2x0?x?1?0其他1:f1(x)??其他 ?0试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足??2??min，并求其最小值。 解 设检验函数为

?(x)???1x?c?0其他（c为检验的拒绝域）

??2??P0(x?c)?2P1(x?c)?P0(x?c)?2[1?P1(x?c)]?E0?(x)?2[1?E1?(x)]

11???(x)dx?2(1??2x?(x)dx)001?2??(1?4x)?(x)dx0要使??2??min，当1?4x?0时，?(x)?0

2

当1?4x?0时，?(x)?1

1?1x?1?7?4所以检验函数应取?(x)??，此时，??2??2??(1?4x)dx?。

80?0x?1??47.5 设某产品指标服从正态分布，它的根方差?已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时? 解 总体??N(?,1502)，对假设，H0:??1600，采用U检验法，在H0为真时，检验统计量

u?x-?0n?1.2578

?0临界值u1??/2?u0.975?1.96

|u|?u1??/2，故接受H0。

7.6 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64?，根方差保持在0.06?，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62?，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平

?=0.01。

解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量?，则E???未知，D??(0.06)2， 假设为 H0:??2.64，统计量 u??-?0n??3.33 ?由于u1-?/2?u0.995?2.10?|u|，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。 7.7有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：

实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 乙 4.3 3.2 8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？

解 此问题可以归结为判断??x1?x2是否服从正态分布N(0,?2)，其中?2未知，即要检验假设H0:??0。 由t检验的统计量 t?

???0*snn?0.1?08??0.389

0.7273