概率论与数理统计教程 魏宗舒 课后习题解答答案_7-8章汇总 下载本文

第七章 假设检验

7.1 设总体??N(?,?2),其中参数?,?2为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设:

(1)H0:??0,??1; (2)H0:??0,??1; (3)H0:??3,??1; (4)H0:0???3; (5)H0:??0.

解:(1)是简单假设,其余位复合假设 7.2 设?1,?2,,?25取自正态总体N(?,9),其中参数?未知,x是子样均值,如对检验问题

,x25):|x??0|?c},试决定常数c,使检验的显著性

H0:???0,H1:???0取检验的拒绝域:c?{(x1,x2,水平为0.05

解:因为??N(?,9),故??N(?,在H0成立的条件下,

9) 25P0(|???0|?c)?P(|???035c|?)53

5c???2?1??()??0.053???(5c5c)?0.975,?1.96,所以c=1.176。 3322已知,对假设检验H0:???0,H1:???0,取临界域,?25取自正态总体N(?,?0),?07.3 设子样?1,?2,c?{(x1,x2,,xn):|??c0},

(1)求此检验犯第一类错误概率为?时,犯第二类错误的概率?,并讨论它们之间的关系;

2(2)设?0=0.05,?0=0.004,?=0.05,n=9,求?=0.65时不犯第二类错误的概率。

2?0解:(1)在H0成立的条件下,??N(?0,n),此时

????0?c??0 ??P0(??c0)?P0?n?0n?

?0??0?

1

所以,c0??0?n??1??,由此式解出c0??0???0

0n?1?在H1成立的条件下,??N(?,?20n),此时

??P????c0??1(??c0)?P1???n??n??00??0?1????0????(c0???n)??(n?n)

00??(?1??????0?n)0由此可知,当?增加时,?1??减小,从而?减小;反之当?减少时,则?增加。 (2)不犯第二类错误的概率为

1???1??(????01????n)0

?1??(?0.65?0.500.95?0.23) ?1??(?0.605)??(0.605)?0.72747.4 设一个单一观测的?子样取自分布密度函数为f(x)的母体,对f(x)考虑统计假设:H:f??10?x?100(x)?H?2x0?x?1?0其他1:f1(x)??其他 ?0试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足??2??min,并求其最小值。 解 设检验函数为

?(x)???1x?c?0其他(c为检验的拒绝域)

??2??P0(x?c)?2P1(x?c)?P0(x?c)?2[1?P1(x?c)]?E0?(x)?2[1?E1?(x)]

11???(x)dx?2(1??2x?(x)dx)001?2??(1?4x)?(x)dx0要使??2??min,当1?4x?0时,?(x)?0

2

当1?4x?0时,?(x)?1

1?1x?1?7?4所以检验函数应取?(x)??,此时,??2??2??(1?4x)dx?。

80?0x?1??47.5 设某产品指标服从正态分布,它的根方差?已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个,测得指标的平均值为1637小时,问在5%的显著性水平下,能否认为该批产品指标为1600小时? 解 总体??N(?,1502),对假设,H0:??1600,采用U检验法,在H0为真时,检验统计量

u?x-?0n?1.2578

?0临界值u1??/2?u0.975?1.96

|u|?u1??/2,故接受H0。

7.6 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64?,根方差保持在0.06?,改变加工工艺后,测得100个零件,其平均电阻为2.62?,根方差不变,问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?去显著性水平

?=0.01。

解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量?,则E???未知,D??(0.06)2, 假设为 H0:??2.64,统计量 u??-?0n??3.33 ?由于u1-?/2?u0.995?2.10?|u|,故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。 7.7有甲乙两个检验员,对同样的试样进行分析,各人实验分析的结果如下:

实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 乙 4.3 3.2 8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异?

解 此问题可以归结为判断??x1?x2是否服从正态分布N(0,?2),其中?2未知,即要检验假设H0:??0。 由t检验的统计量 t?

???0*snn?0.1?08??0.389

0.7273