Se?144.75?2.75?27.17?77.50?41.33

方差分析表

来源 机器A 操作工B 交互作用A?B 平方和 2.75 27.17 73.50 41.33 144.75 自由度 3 2 6 24 35 均方和 0.92 13.59 12.25 1.72 F比 <1 7.90 7.12 e 总和 F0.95(2,24)?3.40F0.95(6,24)?2.51 由于FB?7.90?3.40,FA?B?7.12?2.51，所以在??0.05水平上，操作工有显著差异，机器之间无显著差异，交互作用有显著差异。

8.3通过原点的一元线性回归模型时怎样的？通过原点的二元线性回归模型是怎样的？分别写出结构矩阵X，正规方程组的系数矩阵X?X，常数项矩阵X?Y，并写出回归系数的最小二乘法估计公式。 解 通过原点的一元线性回归模型：

??y???x??????1,2,,N ?2??各??独立同分布，??N(0,?)?x1???Nx2?2?X?,X?Y?(x1,x2，X?X??x?????1???xN??y1???NyxN)?2???x?y? ????1???yN??的最小二乘估计为

???X?X??1X?Y?xy/x2 ????????1??1NN通过原点的二元线性回归模型：

??y???1x?1??2x?2?????1,2,,N ? 2??各??独立同分布，??N(0,?) 13

???x2?1?x?1x??2???X?X????,?x11x12?????x?1x?2?x2??2X??x?21x22??????，

????xN1x?N2???x?1y??X?Y?????????x?2y??????1,?2的最小二乘估计为：

???????1??1????X?X?X????Y 2??8.4 对不同的元麦堆测得如下数据：

堆 号 1 2 3 4 5 6 重量p 2813 2705 11103 2590 2131 5181 跨度l 3.25 3.20 5.07 3.14 2.90 4.02 试求重量对跨度的回归方程，并求出根方差?的估计值。

解 设所求回归方程为p????0???1l，由数据可以求出： ?p??26523,?p?l??109230.58,?p2??176598625 ??? ?l2??21.58,?l??80.9374,N?6

??由最小二乘法估计公式可知

???p1?l??Np????l?1?2?4165.85

?l21????N???l????????10N?p????11l???10562 ?N??故可得回归方程：p???10562?4165.85l ?2的估计是

??2?1??212???N?2?????p??(pl?1(p)(l?N?p?)?????1??????N??)??????????

?428538

14

则?的估计为655 8.5 设

yi??0??1xi??2(3x2i?2)??ii?1,2,3x1??1,x2?0,x3?1

?21,?2,?3相互独立同服从于N(0,?)。

（1） 写出矩阵X

（2） 求?0,?1,?2的最小二乘估计

（3） 证明当?2?0时，?0,?1的最小二乘估计不变

?1?11?解 （1）X???10?2??

??111???（2）X?X??300??120???，X?Y??y1?y2?y3???y?1?y3?，则，?0,?1,?2的最小二乘估计是??006????y1?2y2?y3???1????(y?y?2?y3)?0?31????????????(X?X)?1?1X?Y??1?(?y?y)??????213? 2??????16(y1?2y2?y3)????（3）若?2?0，此时模型成为： yi??0??1xi??ii?1,2,3，则对应的

?1?1?X???10?，X?X??30?，X?Y??y1?y2?y3?，?,?的最小二乘估计是 ????11???02?????y1?y?013??1????????0????(X?X)?1X?Y???3(y1?y2?y3)??

???1????1?2(?y1?y3)???8.6 若y与x有下述关系： y??0??1x??2x2???ppx??

15

其中?N(0,?2)从中获得了n组独立观测值(x?,y?)，能否求出?0,?1,,?p的最小二乘估计，试写出最

小二乘估计的公式，能否检验假设 H0:?i?0 试写出检验的拒绝域。

1ni解 若记X?i?x?,Xi??x???1,n??1in,n;i?1,,p

lij??(X?i?Xi)(X?j?Xj)i,j?1,??1n,p

li0??(X?i?Xi)(y??y)i?1,??1,p

则?1,,?p的最小二乘估计为下述方程组的解：

??l????l?l11??l1p?1122?p10???l????l??l2p??l21?1222?p20 ? （*）

???????lp1?1?lp2?2??lpp?p?lp0?0的最小二乘估计为：

??y???X? ?011?X ??pp若把方程组（*）的系数矩阵记为L，则L?(lij)，又记L?1?(lij)，则在显著性水平?上检验H0:?i?0的拒绝域是：

?2? Fi?iji2?F1??(1,n?p?1)

?l??2?其中，?1?l?{?(y??y)2??110n?p?1??l} ??pp08.7 某医院用光色比色计检验尿贡时，得尿贡含量与肖光系数读数的结果如下：

尿贡含量x 肖光系数y 已知它们之间有下述关系式： yi??0??1xi??ii?1,2,3,4,5

16

2 64 4 138 6 205 8 285 10 360