【分析】
分别假设甲、丙、丁获得冠军，可得到多于一个人说假话，可排除甲、丙、丁，验证若乙为冠军,符合题意. 【详解】若获得冠军是甲，则甲、乙、丙三人同时回答错误， 丁回答正确，不满足题意； 若获得冠军是乙，则甲、丙、丁回答正确，乙回答错误，满足题意； 若获得冠军是丙，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意； 若获得冠军是丁，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意， 综上，获得冠军是乙，故答案为乙.
【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决. 16.设函数【答案】【解析】 试题分析：若
，由
的定义域为
，得时，.因为.
是
，当，此时
时，
，由
，此时
是，得
的极大值点；②若
，由
，，
，所以
.①
，若
是
的极大值点，则的取值范围为________________________.
单调递增，当得
或
单调递减，所以
，解得
的极大值点，所以，综合①②：的取值范围是
故答案为
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.给出以下四个式子： ①②③④
； ； ；
.
（1）已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个， 求出这个常数； （2）分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明. 【答案】（1）；（2）见解析
9
【解析】
分析：(1)利用第二个式子，结合同角三角函数的平方关系，以及正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，求得结果；
(2)根据题中所给的角之间的关系，归纳推理得到结果，证明过程应用相关公式证明即可. 详解：（1）（2）证明如下：
.
点睛：该题考查的是有关三角公式的问题，涉及到的知识点有同角三角函数的关系式，正弦的倍角公式，余弦的差角公式等，正确使用公式是解题的关键. 18.（1）已知，都是正数，并且（2）若，都是正实数，且
，求证：，求证：
与
；
中至少有一个成立.
.
.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用综合法，将两式做差，化简整理，即可证明
（2）利用反证法，先假设原命题不成立，再推理证明，得出矛盾，即得原命题成立。 【详解】（1）
因为，都是正数，所以又所以（2）假设
且
两式相加得
，
和
，所以
，所以
，即都不成立，即，，即
. .
10
，
，
. 和
同时成立.
此与已知条件相矛盾，和中至少有一个成立.
【点睛】本题主要考查综合法和反证法证明，其中用反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，得出矛盾，即假设不成立，原命题成立，进而得证。
19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 违章驾驶员人数
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
；
1 120 2 105 3 100 4 90 5 85 参考公式： ， .
参考数据： 【答案】（1）【解析】 【分析】
.
；（2）49.
（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得（2）令
的值，得到回归直线方程；
，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
，
【详解】（1）由表中数据知，
∴， ，
11
∴所求回归直线方程为（2）令
，则
. 人.
【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得
的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
岁到
岁的人群中随机调查了
人，并
20.为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在得到如图所示的频率分布直方图，在这示：
人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如图所
年龄 不支持“延迟退休年龄政策”的人数
（1）由频率分布直方图，估计这（2）根据以上统计数据填写下面的
人年龄的平均数；
列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过
的前提下，认为以
岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异？ 不支持 支持 总计
45岁以下 45岁以上 总计 12