2019-2020年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何第10讲立体几何中的向量方法教学案理(I) 下载本文

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两平面所成角的余弦值为确定P的位置.

3

[解] (1)证明:在直角梯形ABCD中作DM⊥BC于M,连接AE, 则CM=2-1=1,CD=DE+CE=1+2=3, 则DM=AB=9-1=8=22,

CM1

cos C==,

CD3

则BE=CE+CB-2CE·CB·cos C =143

4+4-2×2×2×=,

33

22AE=AD2+DE2-2AD·DE·cos∠ADE

=126

1+1-2×1×1×=,

33

2

2

2

所以AE+BE=AB,故AE⊥BE,且折叠后AE与BE位置关系不变. 又平面BCE⊥平面ABED,且平面BCE∩平面ABED=BE,所以AE⊥平面BCE. (2)连接CF,因为在△BCE中,BC=CE=2,F为BE的中点,所以CF⊥BE.又平面BCE⊥平面ABED,且平面BCE∩平面ABED=BE,

所以CF⊥平面ABED.以F为坐标原点,过点F且平行于AE的直线为x轴,FB,FC所在直线分别为y轴,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz, 则F(0,0,0),

A?23??26??23??26

,-,0?,C?0,0,?,E?0,-,0?,

33??3?3???

→?262326??→?

从而AE=?-,0,0?,CE=?0,-,-?.

33??3??设平面ACE的法向量为m=(x1,y1,z1), →??m·AE=0,

则?

→??m·CE=0,

26?-

?3x=0,即?

2326-y-z=0,??33

11

1

令z1=1,

则x1=0,y1=-2,

可得平面ACE的一个法向量为m=(0,-2,1).

→→2

假设在AB上存在一点P,使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为,且AP=λAB3(0≤λ≤1).

?23?因为B?0,,0?,

3??

→?2643?

所以AB=?-,,0?,

3?3?→?2643?

故AP=?-λ,λ,0?.

3?3?→?262326?

又CA=?,-,-?,

33??3→→→?26

所以CP=CA+AP=?

?3→?26?又FC=?0,0,?,

3??

设平面PCF的法向量为n=(x2,y2,z2), →??n·FC=0,

则?

→??n·CP=0,

-λ

23

3

λ-

26?,-?,

3?

26??3z=0,即?26??3-λ

2

x2+23

3

λ-y2-

26

z2=0,3

令x2=2λ-1,得n=(2λ-1,2(λ-1),0)为平面PCF的一个法向量, 所以|cos〈m,n〉|=?2

解得λ=或λ=0,

3

因此存在点P,且P为线段AB上靠近点B的三等分点或P与A重合时,平面ACE与

?m·n?=??|m||n|?3·

λ-λ-

2+λ-

2

=, 23

2

平面PCF所成角的余弦值为. 3

[类题通法] 利用空间向量巧解探索性问题

对于存在型问题,解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“是否有解”“是否有规定范围内的解”等.

对于位置探索型问题,通常是借助向量,引入参数,综合条件和结论列方程,解出参数,从而确定位置.

■对点即时训练………………………………………………………………………·

如图10-6,在五面体ABCDPE中,PD⊥平面ABCD,∠ADC=∠BAD=90°,F为棱PA的中点,PD=BC=2,AB=AD=1,且四边形CDPE为平行四边形.

图10-6

(1)判断AC与平面DEF的位置关系,并给予证明;

(2)在线段EF上是否存在一点Q,使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为请求出QE的长;若不存在,请说明理由.

【导学号:07804075】

[解] (1)AC∥平面DEF.理由如下:

设线段PC交DE于点N,连接FN,如图所示,

因为四边形PDCE为平行四边形,所以点N为PC的中点, 又点F为PA的中点,所以FN∥AC,

因为FN?平面DEF,AC?平面DEF,所以AC∥平面DEF. (2)如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系. 因为PD=BC=2,AB=AD=1,所以CD=2, 所以P(0,0,2),B(1,1,0),C(0,2,0),A(1,0,0), →→

所以PB=(1,1,-2),BC=(-1,1,0). 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z) , →??m·PB=x,y,z则?

→??m·BC=x,y,z,1,-2-1,1,

=0,=0,

3

?若存在,6

?x+y-2z=0,即?

?-x+y=0,

?x=y,解得?

?z=2x,

令x=1,得平面PBC的一个法向量为m=(1,1,2). 假设存在点Q满足条件.

→?12?2??1

由F?,0,?,E(0,2,2),可得FE=?-,2,?.

2?2??2?2→→

设FQ=λFE(0≤λ≤1), 整理得Q?

2?1-λ

,2λ,?2

+λ2

??, ?

+λ2

→?1+λ2则BQ=?-,2λ-1,2??

?, ?

3, 6

因为直线BQ与平面PBC所成角的正弦值为?→?→BQ·m?|5λ-1|3?所以|cos〈BQ,m〉|===?→?219λ2-10λ+76, ?|BQ|·|m|?

12

得14λ-5λ-1=0,又0≤λ≤1,所以λ=,

2

332??1

故在线段EF上存在一点Q?,1,?,使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为6,

4??4

2

且QE=

2-

+?2

19?32?

. -2?=4?4?

?1-0?+

?4???

■题型强化集训………………………………………………………………………·

(见专题限时集训T3) 三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第37页)

1.(2017·全国Ⅲ卷)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.

图10-7

(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.