2
两平面所成角的余弦值为确定P的位置．
3
[解] (1)证明：在直角梯形ABCD中作DM⊥BC于M，连接AE， 则CM＝2－1＝1，CD＝DE＋CE＝1＋2＝3， 则DM＝AB＝9－1＝8＝22，
CM1
cos C＝＝，
CD3
则BE＝CE＋CB－2CE·CB·cos C ＝143
4＋4－2×2×2×＝，
33
22AE＝AD2＋DE2－2AD·DE·cos∠ADE
＝126
1＋1－2×1×1×＝，
33
2
2
2
所以AE＋BE＝AB，故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变． 又平面BCE⊥平面ABED，且平面BCE∩平面ABED＝BE，所以AE⊥平面BCE. (2)连接CF，因为在△BCE中，BC＝CE＝2，F为BE的中点，所以CF⊥BE.又平面BCE⊥平面ABED，且平面BCE∩平面ABED＝BE，
所以CF⊥平面ABED.以F为坐标原点，过点F且平行于AE的直线为x轴，FB，FC所在直线分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz， 则F(0,0,0)，
A?23??26??23??26
，－，0?，C?0，0，?，E?0，－，0?，
33??3?3???
→?262326??→?
从而AE＝?－，0，0?，CE＝?0，－，－?.
33??3??设平面ACE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， →??m·AE＝0，
则?
→??m·CE＝0，
26?－
?3x＝0，即?
2326－y－z＝0，??33
11
1
令z1＝1，
则x1＝0，y1＝－2，
可得平面ACE的一个法向量为m＝(0，－2，1)．
→→2
假设在AB上存在一点P，使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为，且AP＝λAB3(0≤λ≤1)．
?23?因为B?0，，0?，
3??
→?2643?
所以AB＝?－，，0?，
3?3?→?2643?
故AP＝?－λ，λ，0?.
3?3?→?262326?
又CA＝?，－，－?，
33??3→→→?26
所以CP＝CA＋AP＝?
?3→?26?又FC＝?0，0，?，
3??
设平面PCF的法向量为n＝(x2，y2，z2)， →??n·FC＝0，
则?
→??n·CP＝0，
－λ
23
，
3
λ－
26?，－?，
3?
26??3z＝0，即?26??3－λ
2
x2＋23
3
λ－y2－
26
z2＝0，3
令x2＝2λ－1，得n＝(2λ－1，2(λ－1)，0)为平面PCF的一个法向量， 所以|cos〈m，n〉|＝?2
解得λ＝或λ＝0，
3
因此存在点P，且P为线段AB上靠近点B的三等分点或P与A重合时，平面ACE与
?m·n?＝??|m||n|?3·
λ－λ－
2＋λ－
2
＝， 23
2
平面PCF所成角的余弦值为. 3
[类题通法] 利用空间向量巧解探索性问题
对于存在型问题，解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“是否有解”“是否有规定范围内的解”等.
对于位置探索型问题，通常是借助向量，引入参数，综合条件和结论列方程，解出参数，从而确定位置.
■对点即时训练………………………………………………………………………·
如图10-6，在五面体ABCDPE中，PD⊥平面ABCD，∠ADC＝∠BAD＝90°，F为棱PA的中点，PD＝BC＝2，AB＝AD＝1，且四边形CDPE为平行四边形．
图10-6
(1)判断AC与平面DEF的位置关系，并给予证明；
(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为请求出QE的长；若不存在，请说明理由.
【导学号：07804075】
[解] (1)AC∥平面DEF.理由如下：
设线段PC交DE于点N，连接FN，如图所示，
因为四边形PDCE为平行四边形，所以点N为PC的中点， 又点F为PA的中点，所以FN∥AC，
因为FN?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF. (2)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 因为PD＝BC＝2，AB＝AD＝1，所以CD＝2， 所以P(0,0，2)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，A(1,0,0)， →→
所以PB＝(1,1，－2)，BC＝(－1,1,0)． 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z) ， →??m·PB＝x，y，z则?
→??m·BC＝x，y，z，1，－2－1，1，
＝0，＝0，
3
？若存在，6
?x＋y－2z＝0，即?
?－x＋y＝0，
?x＝y，解得?
?z＝2x，
令x＝1，得平面PBC的一个法向量为m＝(1,1，2)． 假设存在点Q满足条件．
→?12?2??1
由F?，0，?，E(0,2，2)，可得FE＝?－，2，?.
2?2??2?2→→
设FQ＝λFE(0≤λ≤1)， 整理得Q?
2?1－λ
，2λ，?2
＋λ2
??， ?
＋λ2
→?1＋λ2则BQ＝?－，2λ－1，2??
?， ?
3， 6
因为直线BQ与平面PBC所成角的正弦值为?→?→BQ·m?|5λ－1|3?所以|cos〈BQ，m〉|＝＝＝?→?219λ2－10λ＋76， ?|BQ|·|m|?
12
得14λ－5λ－1＝0，又0≤λ≤1，所以λ＝，
2
332??1
故在线段EF上存在一点Q?，1，?，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为6，
4??4
2
且QE＝
2－
＋?2
19?32?
. －2?＝4?4?
?1－0?＋
?4???
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T3) 三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第37页)
1.(2017·全国Ⅲ卷)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
图10-7
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值．