[解] (1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD. 又△ACD是直角三角形， 所以∠ADC＝90°.

取AC的中点O，连接DO，BO， 则DO⊥AC，DO＝AO.

又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC， 所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角． 在Rt△AOB中，BO＋AO＝AB，

又AB＝BD，所以BO＋DO＝BO＋AO＝AB＝BD， 故∠DOB＝90°. 所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，

→→

以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，|OA|为单位长度，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．

1

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离

21

为D到平面ABC的距离的，

2即E为DB的中点，得E?0，

??31?，?， 22?

→→

故AD＝(－1,0,1)，AC＝(－2,0,0)，

AE＝?－1，

→?

?

31?，?. 22?

设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量， →??n·AD＝0，

则?

→??n·AE＝0，可取n＝?1，

－x＋z＝0，??

即?31

－x＋y＋z＝0，?22?

?

?3?，1?. 3?

→??m·AC＝0，

设m是平面AEC的法向量，则?

→??m·AE＝0，同理可取m＝(0，－1，3)， 则cos〈n，m〉＝

n·m7

＝. |n||m|7

7. 7

所以二面角D-AE-C的余弦值为2．(2017·全国Ⅰ卷)如图10-8，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.

图10-8

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值． [解] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD. 因为AB∥CD，所以AB⊥PD. 又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD.

因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.

由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.

→→以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

由(1)及已知可得A?

2??22?2?????

，0，0?，P?0，0，?，B?，1，0?，C?－，1，0?，

2??2?2????2?

→?22?→

所以PC＝?－，1，－?，CB＝(2，0,0)，

2??2→

PA＝?

2?→?2

，0，－?，AB＝(0,1,0)．

2??2

设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则

→??n·PC＝0，?

→??n·CB＝0，

22?

?－x1＋y1－z1＝0，

2即?2

??2x1＝0.

所以可取n＝(0，－1，－2)．

设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则 →??m·PA＝0，

?

→??m·AB＝0，

??2x2－2z2＝0，

2即?2

??y2＝0.

所以可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝

3

. 3

n·m－23

＝＝－.

|n||m|33×2

所以二面角A-PB-C的余弦值为－