数学与计算科学学院

《数值分析 》课程设计

题 目： 迭代法解线性方程组 专 业： 信息与计算科学 学 号： 1309302-24 姓 名： 谭 孜 指导教师： 郭 兵 成 绩：

二零一六年 六月 二十日

一 、前言：（目的和意义）

1.实验目的

①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。

②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。

2.实验意义

迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方

程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。

二、数学原理：

设有方程组

Ax?b …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式

x?Bx?f …② (这种转化总能实现，如令B?I?A,f?b), 并由此构造迭代公式

x(k?1)?Bx(k)?f …③ 式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。对任意的初始向量x(0)，由式③可求得

(k)?x*，则x*就是方程①或方程②的解。此时迭代公向量序列{x(k)}?0，若limxk??式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性

1.雅可比迭代法基本原理

设有方程组

?axijj?1nj?bj(i?1,2,3,?,n) …①

矩阵形式为Ax?b,设系数矩阵A为非奇异矩阵，且aii?0,(i?1,2,3,?,n) 从式①中第i个方程中解出x，得其等价形式

1(b? xi?aiij?1j?1?ax) …②

ijjn(0)(0)(0)取初始向量x(0)?(x1,x2,?,xn)，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：

n1?(??aijx(jk)?bi) …③ aiij?1j?1 x(k?1)i也可记为矩阵形式： x(k?1)?BJx(k)?FJ …④

若将系数矩阵A分解为A=D-L-U，

??a11a12?a1n?A?D?L?U??a21a22?a?2n????????

?an1an2?a?nn???a110?0????0???0a22??????a210?????0??????0?0a???nn??an1??ann?1

式中

??a11?? D??a?22????， ??a?nn??

??0??a0??21? L??a31a320????????，??an1an2?ann?10??

??0a12a13?a1n??0a23?a?2n? U???0??????a?。n?1n??0??

则方程Ax=b变为 (D?L?U)x?b 得 Dx?(L?U)x?b

0???0?a12??0??????0????0?a1n????a?n?1n?0??????