习题1.1

5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立. Hint:

根据除法的定义不难证明:

? 如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;

? 如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.

对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)

6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次? Hint:

对于任何形如0<=m

gcd(m,n)=gcd(n,m)

并且这种交换处理只发生一次.

7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次) b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次) gcd(5,8)

习题1.2 1.(农夫过河)

P—农夫 W—狼 G—山羊 C—白菜 2.(过桥问题)

1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒

4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数) 算法Quadratic(a,b,c)

//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法 //输入:实系数a,b,c

//输出:实根或者无解信息

1

If a≠0

D←b*b-4*a*c If D>0

temp←2*a

x1←(-b+sqrt(D))/temp x2←(-b-sqrt(D))/temp return x1,x2

else if D=0 return –b/(2*a) else return “no real roots” else //a=0

if b≠0 return –c/b else //a=b=0

if c=0 return “no real numbers” else return “no real roots”

5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法 a.用文字描述 b.用伪代码描述 解答：

a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一个正整数n

输出：正整数n相应的二进制数

第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n 第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步 第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出

b.伪代码

算法 DectoBin(n)

//将十进制整数n转换为二进制整数的算法 //输入：正整数n

//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中 i=1

while n!=0 do { Bin[i]=n%2; n=(int)n/2; i++; }

while i!=0 do{ print Bin[i]; i--; }

9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进. 算法 MinDistance(A[0..n-1]) //输入:数组A[0..n-1]

//输出:the smallest distance d between two of its elements

2

习题1.3

1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.

a.应用该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序 b.该算法稳定吗? c.该算法在位吗? 解:

a. 该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序的过程如下所示:

b.该算法不稳定.比如对列表‖2,2*‖排序 c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题)

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