。

燕尾定理与蝴蝶定理

一、同高三角形，鸟头定理和燕尾定理：

推论1：平行线间同底的三角形面积相等。如图：

推论2：长方形中以一条边为底，顶点在对边的三角形的面积是此长方形面积的一半。

如图：S△ABC = S△BEC = S△BFC= S△BDC=

S△ABC = S△ADB = S△AEB （因为它们同底等高）

（1）同高三角形面积的比等于底的比； 如右图中：

S△ABD : S△ACD = BD : CD

B

D

C

A

CDEAB1SABDC 2（因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除2）

推论3：梯形中的蝴蝶三角形——梯形中由对角线分成的左

-可编辑修改-

。

右两个三角形面积相等。

如图：

S?AOD?S?BOC（蝴蝶三角形）

（因为S?ADC?S?BDC，这两个三角形同时减去S?DOC就得到了S?AOD?S?BOC）

推论4：鸟头定理——如右图所示则有：S?ADES?AD?AEAC ?ABCAB?证明：连结BE，则有：

S?ADEADS?S?，ABE?AE ?ABEABS?ABCAC 两个式子相乘得到：

S?ADES?S?ABES?AD?AE ?ABE?ABCABAC 即：

S?ADES?AD?AEAC ?ABCAB?

-可编辑修改-

A

E

D B

C

。

A

推论5：燕尾定理：

E

如右两图所示，均有： B

D

C

S?ABES?BD ?ACECD（因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于BDCD）

二、正方形面积等于对角线的平方除以2

.如图： SABDC=

1SAEFC=1AC2 22（很明显，大正方形面积是小正方形的两倍，因为大正方形有O 4个直角三角形，而小的只有2个） 三、平行线分线段成比例：

A B

“金字塔”和“沙漏”，

C

D

如右两图所示：如果AB与CD平行， 那么：

OAOC?OBABOD?CD OAAC?OBBD S222?AOBS???OA??????OB??OD??AB?????CD?? ?COD?OC-可编辑修改-

A

B

D C

E

ADEBCA B FO D C