第12讲 与相交有关概念及平行线的判定

考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.

3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.

经典·考题·赏析

【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪E A 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两

C 边的反向延长线.

F ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.

【变式题组】

C 01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：

⑴∠ARC的对顶角是 . 邻补角

P 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； Q A 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. F 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.

【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、 ∠AOC．

⑴求∠EOF的度数；

F ⑵写出∠BOE的余角及补角.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

A

【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝＝

1∠BOC，∠FOC2111∠AOC ∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠BOC＋∠AOC＝2221??BOC??AOC? 又∵∠BOC＋∠AOC＝180° ∴∠EOF＝1×180°＝2290° ⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.

【变式题组】

01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOCD ＝100°，则∠BOD的度数是（ ）

A．20° B． 40° C．50° D．80°

E 4 1 D B

3 2 A O B

E C （第1题图）

（第2题图）

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .

【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： A ⑴经过点A画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B到直线l1的垂线

O 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.

【变式题组】 01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（ ） A．4cm B． 5cm C．不大于4cm D．不小于6cm

1

R B D 段.

C

E B l2

l1 O B

02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两

侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q 的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.

03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请

作出∠CBE的对顶角，并求其度数. A

B

A

E ⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在 的路上距离M村越

来越近..在 【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的， 的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 并说出它们的名称： F C 【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝∠1和∠2：

1 65°，求∠BOE和∠AOC的度数.

E 4 D 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依∠1和∠3：

2 3 6 据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝ A 5 90°，OF⊥AB． A B ∠1和∠6：

O D E

F ∠2和∠6： C 【变式题组】 ∠2和∠4： 01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠3和∠5：

∠AOE的度数. ∠3和∠4：

E A

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是： C 首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的D O 02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD． 直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确⑴求∠AOC的度数； 定它们的名称.

B ⑵试说明OD与AB的位置关系. D C

2

D B B O A

【变式题组】

01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同

旁内角共有（ ）

A

A．4对 B． 8对 C．12对 D．16对

C

02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. H 直线平行. E ⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁

Ｇ 内角互补，两直线平行.

⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两

B 直线平行.

【变式题组】

D

A 01．如图，推理填空.

⑴∵∠A＝∠ （已知） F

∴AC∥ED（ ） F E 1 ⑵∵∠C＝∠ （已知）

5

3 4 7 8 2 ∴AC∥ED（ ）

4 6 3 2 1 6 5 3 ⑶∵∠A＝∠ （已知） B 2 D 1 ∴AB∥DF（ ） 4 02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明丙 甲 乙

A DE与AB的位置关系.

1 解：∵AD是∠BAC的平分线（已知） 03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）

3 A ∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义） 2 A．∠1和∠2是同旁内角 5 1 又∵EF平分∠DEC（已知） 4 B．∠3和∠4是内错角

E

∴ C．∠5和∠6是同旁内角

6 7 C （ ） 2 B D．∠5和∠7是同旁内角

又∵∠1＝∠2（已知） 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?

B ∴ ⑴∠CBD＝∠ADB； D F A D （ ） ⑵∠BCD＋∠ADC＝180°

∴AB∥DE（ ） ⑶∠ACD＝∠BAC

【解法指导】图中有即即有同O 旁内

B C

03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD． 角，有“ ”即有内错角.

A

E 【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两

C C

B

C 3

D