生活的色彩就是学习
第一节 数列的概念与简单表示法
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
(对应学生用书第79页)
[基础知识填充]
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
(3)函数有三种表示示，它们分别是列表法、图像法和通项公式法．
2．数列的分类
分类原则 按项数分类 按项与项间 的大小关系 分类 按其他 标准分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 摆动数列 满足条件 项数有限 项数无限 an＋1＞an an＋1＜an an＋1＝an 其中 n∈N＋ 存在正数M，使|an|≤M 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数解析式．
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．
[知识拓展]
1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
K12的学习需要努力专业专心坚持
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??S1，n＝1，则an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2.?
??an≥an－1，
2．在数列{an}中，项an最大，则?
?an≥an＋1.?
??an≤an－1，
若an最小，则?
?an≤an＋1.?
3．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达．( )
(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( )
(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n－8n＋15，则3( )
A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项或第6项
D [令an＝3，即n－8n＋15＝3，解得n＝2或6， 故3是数列{an}中的第2项或第6项．] 3．设数列{an}的前n项和Sn＝n，则a8的值为( )
A．15 B．16 C．49 D．64 A [当n＝8时，a8＝S8－S7＝8－7＝15.]
(－1)
4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于( )
n2
2
2
2
2
an－1
3
A． 28C． 5
2
3
5B． 32D． 3
(－1)(－1)1
D [a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，
a1a22K12的学习需要努力专业专心坚持
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(－1)(－1)2
a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.]
a3a43
2345
5．(教材改编)数列1，，，，，…的一个通项公式an是__________．
3579
4
5
n123n [由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.] 2n－11352n－1
(对应学生用书第80页)
由数列的前几项归纳数列的通项公 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；
1111
(2)－，，－，，…；
1×22×33×44×51925
(3)，2，，8，，…； 222(4)5,55,555,5 555，….
[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
式 (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)×
n1
，n∈N＋.
n(n＋1)
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即1491625n，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝. 222222555n(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10
9995n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10－1)．
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[规律方法] 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征： 1分式中分子、分母的特征. 2相邻项的变化特征. 3拆项后变化的部分和不变的部分的特征. 4各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想. 2.若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来.对于K12的学习需要努力专业专心坚持
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