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专题15 椭圆、双曲线、抛物线

y2

1．已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )

m＋n3m－nA．(－1,3) C．(0,3) 答案 A

B．(－1，3) D．(0，3)

x2

x2y2

2．已知双曲线－2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线

4b相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 44C.－＝1 44答案 D

解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x＋y＝4，

2

x23y2x2y2

B.－＝1 43D.－＝1 412

x24y2x2

y2

b22

x＋y＝4，??联立?by＝x，??2

22

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44＋b2b4＋b??x＝解得???y＝

，22

，

y2

??x＝

或???y＝

－44＋b－2b4＋b2，，

2

?4，2b?即第一象限的交点为?22?.

4＋b??4＋b由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为＝12.

故双曲线的方程为－＝1.故选D.

412

84＋b，2

8×4b2

，故2＝2b，得b2

4＋b4＋b4bx2

x2y21

3．已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则

ab3E的离心率为( )

3

A.2B.C.3D．2

2答案 A

b2

解析 如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.

a

4．已知F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，

2516则满足条件的点M有( ) A．0个 C．2个 答案 C

B．1个 D．4个

x2

y2

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解析 由椭圆方程＋＝1可得a＝25，b＝16，

2516∴a＝5，b＝4，c＝3.

由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，且|F1F2|＝2c＝6， ∴△MF1F2的周长|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝10＋6＝16. 设△MF1F2的内切圆的半径为r， 3

由题意可得2πr＝3π，解得r＝.

2

x2y2

22

x2y2

5．已知圆x＋y＝上点E处的一条切线l过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F，且与双曲线的右

16ab2

2

a2

→1→→

支交于点P，若OE＝(OF＋OP)，则双曲线的离心率是______________．

2答案

26 4

解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，

由题意可知|OE|＝，

4→1→→由OE＝(OF＋OP)，

2可知E为FP的中点．

由双曲线的性质，可知O为FH的中点， 1

所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，

2

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