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2015年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题及答案解析

一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的。）

(1)下列反常积分中收敛的是 (A) (C)

(B)

(D)

【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；

；

；

，

因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分

(2)函数

在(- ,+ )内

(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B

【解析】这是“ ”型极限，直接有

,

在 处无定义，

且 所以 是 的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限

，(3)设函数 ( ).若 在 处连续，则

(A) (B) (C) (D) 【答案】A

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【解析】易求出

，

再有

不存在， ，

于是， 存在 ，此时 . 当 时，

，

=

不存在， ，

因此， 在 连续 。选A 综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数 在(- ,+ )内连续，其 二阶导函数 的图形如右图所示， 则曲线 的拐点个数为 A O B (A) (B)

(C) (D) 【答案】C

【解析】 在(- ,+ )内连续，除点 外处处二阶可导。 的可疑拐点是 的点及 不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧 恒正，对应的点不是 拐点，B点两侧

异号，对应的点就是 的拐点。

虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而( ) 是 的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点

(5)设函数 满足 ，则 与 依次是

(A) (B)

(C) (D) 【答案】D

【解析】先求出

令

于是

因此

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综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分

(6)设D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，函数 在D上连续，则 (A)

(B) (C)

(D) 【答案】 B

【解析】D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将 化为累次积分。 D的极坐标表示为

， ，

因此

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵A= ,b= 。若集合 ，则线性方程 有无穷多解的充分必要

条件为

(A) (B) (C) (D) 【答案】D

【解析】 有无穷多解

是一个范德蒙德行列式，值为 ,如果 ，则 ， ，此时 有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若 ，则 ，排除(C)

当 时， ， 有无穷多解 综上所述，本题正确答案是D。

【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。

(8)设二次型 在正交变换 下的标准形为 ,其中 ,若Q= 在正交变换