同理可求得

所以

5-3 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。

解法1：按方波分段积分直接计算。

解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。

所以

解法3：直接按Rxy(?)定义式计算(参看下图)。

参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数

5-4 某一系统的输人信号为x(t)（见图5-25），若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx(?)和输入—输出的互相关函数Rx(?)之间的关系为Rx(?)=Rxy(?+T)，试说明该系统起什么作用？

解：因为Rx(?)=Rxy(?+T)

所以

所以x(t+?)=y(t+?+T)

令t1 = t+?+T，代入上式得

x(t1 - T)=y(t1)，即y(t) = x(t - T)

结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T时间。

5-5 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。 解：设信号x(t)的均值为?x，x1(t)是x(t)减去均值后的分量，则 x(t) = ?x + x1(t)

如果x1(t)不含周期分量，则，所以此时；如果x(t)含周期

分量，则Rx(?)中必含有同频率的周期分量；如果x(t)含幅值为x0的简谐周期分量，则Rx(?)

2

中必含有同频率的简谐周期分量，且该简谐周期分量的幅值为x0/2；

根据以上分析结论，便可由自相关函数图中确定均值（即常值分量）和周期分量的周期及幅值，参见下面的图。例如：如果

，则

。

5-6 已知信号的自相关函数为Acos??，请确定该信号的均方值?x和均方根值xrms。 解：Rx(?)=Acos??

2

?x= Rx(0)=A

2

5-7 应用巴塞伐尔定理求积分值。 解：令x(t)=sinc(t)，其傅里叶变换为

根据巴塞伐尔定理得

5-8 对三个正弦信号x1(t)=cos2?t、x2(t)=cos6?t、x3(t)=cos10?t进行采样，采样频率fs=4Hz，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。 解：采样序列x(n)

采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，??

采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，??

采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，??

从计算结果和波形图上的采样点可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三个脉冲序列却是相同的，这三个脉冲序列反映不出三个信号的频率区别，造成了频率混叠。原因就是对x2(t)、x3(t)来说，采样频率不满足采样定理。