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“对称性”在高中物理力学问题中的应用

作者：孙春礼 李元法

来源：《中学生数理化·学研版》2015年第09期

一、如何利用“对称性”解答特殊碰撞类问题的案例分析

例1如图1所示，一直角形的光滑的墙壁，现有一质量非常小的弹性小球从离水平面高度为h，离竖直墙壁距离为x的O点以一定的水平初速度抛出，与竖直墙壁发生弹性碰撞，反弹后落在距离竖直墙壁为2x的水平面上的P点，试求水平初速度的大小。

解析：假设小球以速度v与墙壁碰撞，之后以速度v0反弹，其运动轨迹如图2所示， 根据对称性特征可将小球的运动路线O→M→P转化为平抛运动O→M→P′。 根据的路线转换，加之P与P′关于墙壁对称，最终可以得出如下表达式： x+2x=v0t，h=12gt2，化简得：v0=3x2h/g。

这道题目是一道较为特殊的碰撞类题目，若根据小球的实际运动轨迹进行求解会十分复杂，但是通过对称性解题思路转化小球运动轨迹就会相对简单，这里运用的对称性原理是将小球的落点关于墙壁的对称点找出，将一个弹性碰撞反弹的过程转变为一个抛体过程。 二、如何利用“对称性”解决物体质量分布的不对称问题案例分析

在高中物理中，有一些求物体中心的问题，首先物体本身分布是均匀的，也就是说其平衡能力本身就与自身所受外力相对称，但这又包含两种情况，第一种，物体的形状是中心对称的，那么其物体中心就是其几何中心，另外一种情况就是几何形状不是中心对称的，针对这种情况就需要采用“割补结合”的方法进行求解，以下，就举一个例子加以说明。 例2〓有一根质量均匀分布的圆台形木杆，其形状如图3所示， 〓图3

其中，杆中轴线为AB，CD是经过杆的重心且与中轴线相互垂直的直线，假如此时沿着CD将木杆锯开，试对锯开之后木杆的两部分重力大小进行比较？

解析：对上述问题加以分析，可以发现，可以利用对称性解题思路来解决这一问题，其具体的解题步骤可以根据图4来加以描述。 〓图4

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从图4中可以看出，图形ECDF的中心是G1，图形CPQD的中心是G2，具体的解题步骤包括以下几步：首先，是做辅助线MN、CR和DS，其目的是为了让图形CMND与图形CRSD关于直线CD对称，这样一来，这两个图形的重力大小就相等了；其次，比较剩余的阴影部分，图形EMNF的中心为G3，图形CPQD剩余阴影部分分为两部分，即图形CPR和图形DSQ，两部分结合在一起的重心为G4，然后进行比较，在图形CRSD中，OG4

从这一解题过程中不难发现，如果想直接确定两个圆台的重心是十分困难的，所以可以将数学相关知识运用到物理中，利用对称性原理构图后进行解答，可以使问题简单化。 三、如何利用“对称性”进行抛体运动问题的案例解答分析

抛体运动是高中物理教学中的一大难点，抛体运动可以分为平抛运动和斜抛运动，其中平抛运动较为简单，而对于较为复杂的斜抛运动的轨迹来说，通常的解决方法是将其比作关于过运动最高点的竖直直线对称的两种平抛运动的轨迹构成的运动。以下举例说明。 〓图5

例3〓如图5所示，有两块相互平行的电容器，中间存在均匀的电场E，方向是竖直向下的，有一个不计重力的粒子在电场之中，其质量大小为m，电量为+q，从A点以水平方向以速度为v0开始，沿着与水平方向的夹角为θ斜向上进行运动，其中运动最高点为O点，运动的最大高度为H。试求出该粒子在距下极板的高度为h的O1与O2间所运动的时间。 解析：利用对称法解析可以推断出，在电场中带电粒子作的运动是类斜抛运动，根据运动的对称性原则可以得出：物体从O1→O→O2的过程中所需时间是以初速度为v0cosθ从O→O2所做的类平抛运动所需时间的2倍，最终得出总时间表达式为t′=8m（H-h）qE。

由例3可知，在解决类斜抛运动的题目时，还可以采取传统的类平抛运动规律进行解题，之间的转换就需要依赖于运动所具备的对称性特点。“对称性”在高中物理力学中的运用实际上就是为了简化力学相关问题的解题过程，将我们不了解的复杂的问题转变为我们了解的简单的问题。

综上所述，“对称性”这一解题思路在高中物理力学的教学过程中有着重要的实际效用。对称性是大自然中普遍存在的现象，也是存在于各类物理想象与规律之中的，通过“对称性”，我们可以将复杂的问题简单化，在物理力学方面也是如此，我们可以通过对称性转变物体运动轨迹，从而简化计算过程。“对称性”解题思路要求学生具备一定的思维转换能力，同时又能培养学生的开放型思维和灵活的解题能力。 作者单位：湖北省当阳市第一高级中学