X(n)??x(k)WN （这应该是反变换公式）
knn?0N?11 ?N1 ?N?Nx(k)Wk?0N?1k?0N?1knN （用?k?代替k，且求和取主值区）
?k?n?Nx(?k)W ?N与（1）比较 所以X(n)?Nx((?k))N 8．若x(n)?IDFT?X(k)?，求证IDFT?x(k)??1x(k)??证：IDFS?~Nx(k)W?~k?0N?1?knN1X((?n)N)RN(n)。 N
?1N?1~?rk??knX(r)WW??NN??k?0?Nr?0? N?1N?11~k(?r?n)?2?X(r)?WNNr?0r?01?NN?1而 N ?r?n?lN
?WNk(?r?n)? （l为整数）
k?0N?1 0 ?r?n?lN
1~1~X(?lN?n)?N?X(?n) 2NN1~1于是 IDFT?x(k)??X(?n)RN(n)?X((?n)N)RN(n)
NN所以 IDFS?~x(k)??9．令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT，试证明：
（a） 如果x(n)满足关系式x(n)??x(N?1?n)，则X(0)?0。 （b） 当N为偶数时，如果x(n)?x(N?1?n)，则X()?0。 证：X(k)??x(n)WNnk (k?0,1,...,N?1)
n?0N?1N2 （a）X(0)??x(n)
n?0N?1N为偶数： X(0)??x(n)??x(N?1?n)
n?0n?0N?12N?12?
???x(n)?x(N?1?n)?n?0N?12??x(n)?x(n)??0n?0N?12
N为奇数：X(0)??x(N?1?12n?0?x(n)?N?1?12n?0?x(N?1?n)?x(N?1) 2N?1)?2N?1?12n?0??x(n)?x(N?1?n)?
N?1)???x(n)?x(n)?2n?0N?1N?1?x()?0?x()22?x(N?1?12而x(n)中间的一项应当满足：
N?1N?1n?1)??x(N?1?)??x() 222n?1因此必然有 X()?0
2 x(这就是说，当N为奇数时，也有X(0)?0。
N?1N?1nN2（b）当N为偶数：X()??x(n)WN??x(n)(?1)n
2n?0n?0N?12n?0N?12n?0N?
??x(n)(?1)?x(n)(?1)n?0N?12n??x(N?1?n)(?1)N?1?n?(?1)N?1?x(n)(?1)?nn?0N?12
n当N为偶数时，N?1为奇数，故(?1)N?1??1；又由于(?1)?n?(?1)n,故有
X(N)??x(n)(?1)n??x(n)(?1)n?0 2n?0n?0N?12N?12
10．设DFT?x(n)??X(k)，求证DFT?X(k)?Nx(N?n)?。 【解】因为 WN?k(N?n)?WNnk
1 根据题意 x(n)?N?X(k)Wk?0N?1k?0N?1?nkN
Nx(N?n)??X(k)WN?k(N?n)
因为 WN?k(N?n)?WNnk
所以 Nx(N?n)??X(k)WN?kn?DFT?X(k)?
k?0N?111．证明：若x(n)为实偶对称，即x(n)?x(N?n)，则X(k)也为实偶对称。
【解】 根据题意 X(k)??x(n)WNnk
n?0N?1 ?x(N?n)WN(?n)(?k)再利用WNnk的周期性质
n?0N?1 ?x(N?n)WN(N?n)(N?k)
n?0N?1下面我们令N?n?m进行变量代换，则 X(k)?m?N?x(m)W1(N?k)mN
又因为x(n)为实偶对称,所以x(0)?x(N)?0，所以 x(0)WN(N?k)0?x(N)WN(N?k)m?x(0)WN(N?k)0 可将上式写为 X(k)??x(m)WN(N?k)m?x(0)WN(N?k)0
m?1N ??x(m)WN(N?k)m
m?0N ??x(m)WN(N?k)m?x(N)WN(N?k)N
m?0N ??x(m)WN(N?k)m
m?0N?1所以 X(k)??x(m)WN(N?k)m?X(N?k)
m?0N?1即证。
注意：若x(n)为奇对称，即x(n)??x(N?n)，则X(k)为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。
计算题：
12．已知x(n)?n?1(0?n?3),y(n)?(?1)n(0?n?3)，用圆周卷积法求x(n)和y(n)的线性卷积z(n)。
解：x(n)??1,2,3,4? 0?n?3，y(n)??1,?1,1,?1? 0?n?3
因为x(n)的长度为N1?4,y(n)的长度为N2?4
所以z(n)?x(n)?y(n)的长度为N?N1?N2?1?7,故应求周期N?7的圆周卷积x(n)?y(n)的值，即
?N?1~?z(n)?x(n)?y(n)???x(m)~y(n?m)??RN(n)
?m?0?1,1,2,2,?3,1,?4?,0?n?6 所以z(n)?x(n)?y(n)??1,2,3?，序列b(n)为?3,2,1?。 13．序列a(n)为?（1）求线性卷积a?n??b?n?
（2）若用基2 FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？
解：（1）w(n)?a(n)?b(n)?n????a(m)b(n?m)
?所以w(n)?a(n)?b(n)??3,8,14,8,3?，0?n?4
（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为a(n)的长度为N1?3；所以a?n??b?n?得长度为
N?N1?N2?1?5。
故FFT至少应取23?8点。 14．有限长为N=100的两序列
n?0?1?0?n?10?1y(n)??0 1?n?89 x(n)??
11?n?99?1?090?n?99?做出x(n),y(n)示意图，并求圆周卷积f(n)?x(n)?y(n)及做图。 解 x(n),y(n)示意图略，圆周卷积f(n)?x(n)?y(n)
?11?10??9??8?7??6?f?n???5?4??3?2??1??0??n?0n?1,99n?2,98n?3,97n?4,96n?5,95n?6,94n?7,93n?8,92n?9,91n?10,9010?n?90
15．已知x(n)是长度为N的有限长序列，X(k)?DFT[x(n)]，现将
x(n)的每两点之间补进r?1个零值，得到一个长为rN的有限