定积分典型例题20例答案

例1 求lim13232(n?2n?n??n2?3n3)．

分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．

解 将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为?xi?入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即

lim13232(n?2n?n??n2112?3n3)=lim(3?3?n??nnn?31n3)=?3xdx?．

0n411111，然后把2??的一个因子乘

nnnnn例2 ?202x?x2dx=_________．

2解法1 由定积分的几何意义知，?与x轴所围成的图形的面积．故?2002x?x2dx等于上半圆周(x?1)2?y2?1 (y?0)

2x?x2dx=

?． 2解法2 本题也可直接用换元法求解．令x?1=sint（??2?t??2），则

??2??02x?xdx=?x2222??21?sintcostdt=2?2201?sintcostdt=2?2cos2tdt=

02? 2例3 （1）若f(x)??e?tdt，则f?(x)=___；（2）若f(x)??xf(t)dt，求f?(x)=___．

xx0分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可

dv(x)f(t)dt?f[v(x)]v?(x)?f[u(x)]u?(x)．

dx?u(x)解 （1）f?(x)=2xe?x?e?x；

（2） 由于在被积函数中x不是积分变量，故可提到积分号外即f(x)?x?f(t)dt，则

0x42可得

f?(x)=?f(t)dt?xf(x)．

0x例4 设f(x)连续，且?解 对等式?x3?10x3?10f(t)dt?x，则f(26)=_________．

f(t)dt?x两边关于x求导得

f(x3?1)?3x2?1，

113，令得，所以． x?1?26x?3f(26)?23x27x1例5 函数F(x)??(3?)dt(x?0)的单调递减开区间为_________．

1t1111解 F?(x)?3，令F?(x)?0得?3，解之得0?x?，即(0,)为所求． ?99xx故f(x3?1)?例6 求f(x)??(1?t)arctantdt的极值点．

0x解 由题意先求驻点．于是f?(x)=(1?x)arctanx．令f?(x)=0，得x?1，x?0．列表如下：

x f?(x) (??,0) - 0 0 (0,1) ＋ 1 0 (1,??)

－

故x?1为f(x)的极大值

点，x?0为极小值点．

例7 已知两曲线y?f(x)与y?g(x)在点(0,0)处的切线相同，其中

g(x)??arcsinx0e?tdt，x?[?1,1]，

23试求该切线的方程并求极限limnf()．

n??n分析 两曲线y?f(x)与y?g(x)在点(0,0)处的切线相同，隐含条件f(0)?g(0)，f?(0)?g?(0)．

解 由已知条件得

f(0)?g(0)??e?tdt?0，

002且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知

f?(0)?g?(0)?e?(arcsinx)1?x22?1．

x?0故所求切线方程为y?x．而

3f()?f(0)3limnf()?lim3?n?3f?(0)?3． n??3nn???0n例8 求 limx?0??0xx20sin2tdt；

t(t?sint)dt分析 该极限属于

0型未定式，可用洛必达法则． 0(x2)24x32x(sinx2)2解 lim0=lim=(?2)?lim=(?2)?lim

x?0(?1)?x?(x?sinx)x?0x?0x?sinxx?01?cosx?t(t?sint)dt0x?x2sin2tdt12x2=(?2)?lim=0．

x?0sinx注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．

x1t2dt?1成立． 例9 试求正数a与b，使等式lim2x?0x?bsinx?0a?t分析 易见该极限属于

0型的未定式，可用洛必达法则． 0x22x1t21x2a?xdt=lim?lim解 lim=lim

22x?0x?bsinx?0x?0x?01?bcosxx?01?bcosxa?ta?xx2?lim?1，

x?01?bcosxa1由此可知必有lim(1?bcosx)?0，得b?1．又由

x?01x22lim??1， ax?01?cosxa得a?4．即a?4，b?1为所求． 例10 设f(x)??sinx0sint2dt，g(x)?x3?x4，则当x?0时，f(x)是g(x)的（ ）．

A．等价无穷小． B．同阶但非等价的无穷小． C．高阶无穷小． D．低阶无穷小．

f(x)sin(sin2x)?cosx解法1 由于 lim ?limx?0g(x)x?03x2?4x3cosxsin(sin2x) ?lim?limx?03?4xx?0x21x21?lim2?． 3x?0x3故f(x)是g(x)同阶但非等价的无穷小．选B．

解法2 将sint2展成t的幂级数，再逐项积分，得到

f(x)??sinx0[t2?123(t)?3!11]dt?sin3x?sin7x?342，

则

11sin3x(?sin4x?f(x)342lim?limx?0g(x)x?0x3?x4)11?sin4x??lim342x?01?x?1． 3例11 计算?|x|dx．

?12022

分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．

x20x225解 ?|x|dx＝?(?x)dx??xdx＝[?]?1?[]0＝．

?1?10222注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 311311，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在x?0处间断且在被dx?[?]??2??2x2x2x6