∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°

∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F' ∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS） ∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM ∴CD'平分∠ACM

即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动， ∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝

ED﹣CD＝（12﹣6）cm

）＝（24﹣12

）cm

∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6如图，连接BD'，AD'，

∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C

∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值， ∴S△AD'B最大值＝24故答案为：（24﹣12

+（12﹣4），（24

+36

）×6﹣12

＝（24）

+36

﹣12

）cm．

2

+（12﹣4）×D'N

【点评】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键．

三.解答题

1. （2019?广东?7分）如题25-1图，在平面直角坐标系中，抛物线y=

323373x?x - 与x轴交于848点A.B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点．点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE． （1）求点A.B.D的坐标；

（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（3）如题25-2图，过顶点D作DD1⊥x 轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥ x轴，

点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P的横坐标； ②直接回答这样的点P共有几个？ ．．．．

【答案】

（1）解：由y=

3233733?x?3?-23得点D坐标为（﹣3，23） x?x - =

8488令y=0得x1=﹣7，x2=1

∴点A坐标为（﹣7，0），点B坐标为（1，0） （2）证明：

过点D作DG⊥y轴交于点G，设点C坐标为（0，m） ∴∠DGC=∠FOC=90°，∠DCG=∠FCO ∴△DGC∽△FOC ∴

DGCG ?FOCO由题意得CA=CF，CD=CE，∠DCA=∠ECF，OA=1，DG=3，CG=m+23 ∵CO⊥FA ∴FO=OA=1

∴

3m?23?，解得m=3 （或先设直线CD的函数解析式为y=kx+b，用D.F两点坐标求出1my=3x+3，再求出点C的坐标）

∴点C坐标为（0，3） ∴CD=CE=3?2?3?23?2=6

∵tan∠CFO=

CO=3 FO∴∠CFO=60° ∴△FCA是等边三角形 ∴∠CFO=∠ECF ∴EC∥BA

∵BF=BO－FO=6 ∴CE=BF

∴四边形BFCE是平行四边形

（3）解：①设点P坐标为（m，

323373m?m-），且点P不与点A.B.D重合．若△PAM与△848DD1A相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等．由（1）得AD1=4，DD1=23

（A）当P在点A右侧时，m＞1

（a）当△PAM∽△DAD1，则∠PAM=∠DAD1，此时P、A.D三点共线，这种情况不存在 （b）当△PAM∽△ADD1，则∠PAM=∠ADD1，此时

PMAD1? AMDD1323373m?m-48?4，解得m1=-5（舍去）∴8，m2=1（舍去），这种不存在

m-1323（B）当P在线段AB之间时，﹣7＜m＜1

（a）当△PAM∽△DAD1，则∠PAM=∠DAD1，此时P与D重合，这种情况不存在 （b）当△PAM∽△ADD1，则∠PAM=∠ADD1，此时

PMAD1? AMDD1323373m?m-48?4，解得m1=-5，m2=1（舍去） ∴8m-1323（C）当P在点B左侧时，m＜﹣7

（a）当△PAM∽△DAD1，则∠PAM=∠DAD1，此时

PMDD1? AMAD1323373m?m-48?243，解得m1=﹣11，m2=1（舍去） ∴﹣8m-1243（b）当△PAM∽△ADD1，则∠PAM=∠ADD1，此时

PMAD1? AMDD1