以BD为边进行构图，有3种情况，采用构造全等发进行求解. ∵D点坐标为(3,1515)，所以N1,N2的纵坐标为 443315?x2?x?6?，解得x1??1,x2?3（舍） 424可得N2(?1,15),?M2(0,0) 41532315时，?x?x?6??，x1?1?14,x2?1?14 4424∴N3,N4的纵坐标为?∴N3(1?14,?1515),?M3(14,0)，N4(1?14,?),?M4(?14,0) 44以BD为对角线进行构图，有1种情况，采用中点坐标公式进行求解. ∵N1(?1,151515),?M1(3?4?(?1),?0?),?M1(8,0) 444
4. （2019?湖南湘西州?22分）如图，抛物线y＝ax+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C.D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3． （1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为的坐标；若不存在，请说明理由；
2
？若存在，求出点P （4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线
KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标．由抛物线经过点D.E，用待定系数法即求出其解析式．
（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'．易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点
M、M'、N、N'坐标，即求得答案．
（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积．又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PE平行y轴交直线OD于点E，把△ODP拆分为△OPE与△DPE的和或差来计算，故存在等量关系．设点P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程．求得t的值要讨论是否满足点P在
x轴下方的条件．
（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0）．易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值．
【解答】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3 ∴AD＝3OA＝6 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax+bx经过点D.E
2
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为y＝x﹣4x
2
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N' ∵y＝x﹣4x＝（x﹣4）﹣8 ∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C.D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6） ∴yC＝yD＝﹣6，即点C.D关于直线x＝4对称 ∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6） ∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90° ∴∠BAM＝45° ∴BM＝AB＝4 ∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上 ∴M'（6，4），FM＝FM' ∵N为CD中点 ∴N（4，﹣6）
2
2
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上 ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小 ∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝∴四边形MNGF周长最小值为12
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为过点P作PE∥y轴交直线OD于点E ∵D（2，﹣6） ∴OD＝
2
＝2
．
+10＝12
．
，直线OD解析式为y＝﹣3x
设点P坐标为（t，t﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t） ①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧 ∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t﹣4t）＝﹣t+t
2
2
∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE?xP+PE?（xD﹣xP）＝PE（xP+xD﹣xP）＝PE?xD＝PE＝﹣t+t
2
∵△ODP中OD边上的高h＝，
∴S△ODP＝OD?h
∴﹣t+t＝×2
2
×
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧 ∴PE＝yP﹣yE＝t﹣4t﹣（﹣3t）＝t﹣t
2
2