∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE?xP﹣PE?（xP﹣xD）＝PE（xP﹣xP+xD）＝PE?xD＝PE＝t﹣t

2

∴t﹣t＝×2

2

×

解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6）

综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为

（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L ∵KL平分矩形ABCD的面积

∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4 ∴K（m，0），L（2+m，0） 连接AC，交KL于点H ∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD

．

∴S△AHK＝S△CHL ∵AK∥LC ∴△AHK∽△CHL ∴

∴AH＝CH，即点H为AC中点 ∴H（4，﹣3）也是KL中点 ∴∴m＝3

∴抛物线平移的距离为3个单位长度．

【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式．易错的地方有第（1）题对点D.C.B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明．

5. （2019?湖南岳阳?10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E.F分别在边AD.BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E.F重合），过点P分别作直线BE.BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形

PMQN．

（1）如图1，求证：BE＝BF；

（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长； （3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．

①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）

【分析】（1）证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）． （2）如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形．利用面积法证明PM+PN＝EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题．

（3）①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，可得BE?PM﹣?BF?PN＝?

BF?EH，由BE＝BF，推出PM﹣PN＝EH＝，由此即可解决问题．

．

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，

由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF．

（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．