第八章 向量与解析几何

定义 向量 模 在直角坐标系下的表示 uuura?axi?ayj?azk?(ax,ay,az) rrr有大小、有方向. 记作a或AB ax?prjxa,ay?prjya,az?prjza 向量a的模记作a a?ax2?ay2?az2 向量代数 定义与运算的几何表达 和差 c?a?b c?a－b aa?0，则ea?a c?a?b??ax?bx,ay?by,az?bz? 单位向量 ea?(ax,ay,az)ax?ay?az222 设a与x,y,z轴的夹角分别为方向余弦 ?，?，?，则方向余弦分别为cos?，cos?，cos? ayaacos??rx，cos??r，cos??rzaaaea?(cos?，cos?，cos?) cos2?+cos2??cos2??1 ?为向量a与b点乘（数a?b?abcos?，a?b?axbx?ayby?azbz 量积） 的夹角 ijk叉乘（向c?absin? a?b?axayaz 量积） ?为向量a与b的夹角 bxbybzc?a?b 向量c与a，b都垂直 定理与公式 a?b?axbx?ayby?azbz?0 垂直 a?b?a?b?0 平行 交角余弦 投影 a//b?a?b?0 a?b两向量夹角余弦cos?? abaxayaza//b???bxbybzcos??2222 22axbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz 向量a在非零向量b上的投影 a?b prjba?acos(ab)?b?prjba?axbx?ayby?azbzbx?by?bz222 - 0 - / 11

平面 直线 法向量n?{A,B,C} 点M0(x0,y0,z0) 方向向量T?{m,n,p} 点M0(x0,y0,z0) 方程名方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 称 ?A1x?B1y?C1z?D1?0 ?Ax?By?Cz?D?0 一般式 一般式 ?A2x?B2y?C2z?D2?0点法式 三点式 截距式 面面垂直 面面平行 线面垂直 A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 点向式 参数式 两点式 线线垂直 线线平行 线面平行 x?x0y?y0z?z0??mnp x?x1x2?x1x3?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?x?x0y?y0z?z0??x1?x0y1?y0z1?z0xyz???1 abcA1A2?B1B2?C1C2?0 A1B1C1??A2B2C2 m1m2?n1n2?p1p2?0 m1n1p??1m2n2p2 ABC??mnp Am?Bn?Cp?0 点面距离 M0(x0,y0,z0) Ax?By?Cz?D?0 d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222面面距离 Ax?By?Cz?D1?0 Ax?By?Cz?D2?0 d?D1?D2A?B?C222 线线夹角 ??n1?{A1,B1,C1}n2?{A2,B2,C2} s1?{m1,n1,p1} s2?{m2,n2,p2} cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A1?B1?C1?A2?B2?C2222222面面夹角 线面夹角 s?{m,n,p} n?{A,B,C} sin??Am?Bn?CpA2?B2?C2?m2?n2?p2 cos??m1m2?n1n2?p1p2222m12?n12?p12?m2?n2?p2 空间曲线??x??(t)，? ?y??(t)，?z??(t)，?(??t??) 切“线”方程：切向量 ?T?(??(t0),??(t0),??(t0)) x?x0y?y0z?z0?? ??(t0)??(t0)??(t0)法平“面”方程： ??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0 y??(x)： ? 切向量 ??z??(x)切“线”方程：x?x01?y?y0z?z0???(x0)??(x0) - 1 - / 11

?T?(1,??(x),??(x)) 法平“面”方程： (x?x0)???(x0)(y?y0)???(x0)(z?z0)?0 切平“面”方程： 法向量 空间曲面 ?F(x,y,z)?0 rn?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))rn?(?fx(x0,y0),?fy(x0,y0),1)Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fx(x0,y0,z0)(y?y0)?Fx(x0,y0,z0)(z?z0)?0 法“线“方程： x?x0y?y0z?z0 ??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0) 切平“面”方程： fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0 ： z?f(x,y) 或 rn?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)法“线“方程： x?x0y?y0z?z0??fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1 第九章 多元函数微分法及其应用

（一） 基本概念

1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、 多元函数：z?f(x,y)，图形： 3、 极限：(x,y)lim?(x4、 连续：(x,y)lim?(x5、 偏导数：

0,y0)f(x,y)?A f(x,y)?f(x0,y0)

0,y0)f( x0??x,y0)?f( x0,y0)fx(x0,y0)?lim ?x?0?xf(x0,y0??y)?f(x0,y0)fy(x0,y0)?lim ?y?0?y6、 方向导数： ?f?f?f?cos??cos?其中?,?为l的方向角。 ?l?x?y??7、 梯度：z?f(x,y)，则gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j。

?z?z8、 全微分：设z?f(x,y)，则dz??xdx??ydy

（二） 性质

1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

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