第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛

五年级 第Ⅰ试试题 2013年3月17日 上午8:30至10:00

以下每题6分，共120分

1．计算：5.62×49—5.62×39＋43.8= 。

解析：简便运算。 原式=5.62×（49－39）+43.8=56.2+43.8=100 2．规定a△b=a÷（a+b），那么5 1 2△1.8= 。

解析：定义新运算。 512△1.8=512÷（5 1 2+1.8）=2.2÷4=0.55 3．若干个数的平均数是2013，增加一个数后，平均数仍然是2013，则增加的这个数是 。

解析：平均数问题。 特殊考虑法：显而易见，若干个2013的平均数是2013，

再加一个2013，平均数仍然是2013。

4．如果三位数23 口是4的倍数，那么口里能填的最小数是 ，最大的数是 。

解析：整除问题。 一个数能被4整除，则这个数的末两位能被4整除。当个

位是2时，12，32，52，72，92都能被4整除 所以口里能填的最小数是1，最大的数是 9。

5．观察下图，？代表的数是 。

解析：找规律 规律为奇数行自左往右从奇数开始，第一个数依次1，3，5，并且数的个数依次减少。易得答案为5。

6．小明在计算一个整除的除法算式时，不小心将18看成15，得到商是24，则正确的商是 。

解析：错中求解。 倒推法：15×24÷18=20

7．将100块糖分成5份，使每一份的数量依次多2，那么最少的一份有糖 块，最多的一份有糖 块。

解析：整数拆分、等差数列。 5份糖的数目依次成等差数列，公差为2。中

间数为100÷5=20，最少的一份有糖20—4=16块，最多的一份有糖

20+4=24块

8．一件商品，对原价打九折和打七折的售价相差5.4元，那么此商品的原价是 元。

解析：生活中的利润问题。 5.4÷（0.9—0.7）=27元

9．有26个连续的自然数，如果前13个数的和是247，那么，后13个数的和是 。

解析：等差数列求和。 方法一：求前13个数中间数：247÷13=19，则后

13个数的第一个数为19+6+1=26，最后一个数为26+12=38，所以后13个数的和是（26+38）×13÷2=416 方法二：后13个数比前13个数按顺序一一对应，后13个数的每个数前13个数的每个数都多13 所以后13个数的和是247+13×13=416

10．在三位数253，257，523，527中，质数是 。

解析：质数合数。 根据整除特征，2+3=5，253是11的倍数，253=11×

23 527=17×31，所以257，523是质数。

11．14个棱长为1的正方体在地面堆成如图1所示的几何体，将它的表面（包

括与地面接触部分）染成红色，那么红色部分的面积是 。

解析：表面积问题。 红色部分的面积是就是几何体的表面积。几何体从上

面、下面看到的面看到的面积相等，从左面、右面看到的面看到的面积相等，从前面、后面看到的面看到的面积相等。 红色部分的面积是2×（3×3+6+6）=42

12．如图2，若梯形ABCD的上底AD长16厘米，高BD长21厘米，并且BD=3DE，

则三角形ADE的 面积是 平方厘米，梯形的下底BC长 厘米。

解析：图形面积问题。 DE=21÷3=7，所以S△ADE=16×7÷2=56cm2 BD=3DE，所以BE=2DE，所以S△ABE=2S△ADE=2×56=112(同高倍底) 在梯形

ABCD中S△ABE=S△CDE=112(蝴蝶定律) 所以S△CBE=2S△CDE=2×112=224(同高倍底) 所以BC长224×2÷（21—7）=32cm

13．小丽将一些巧克力装入大，小两种礼盒内，如果每个小礼盒装5块巧 克力，

那么剩下10块，如果每个大礼盒装8块巧克力，那么少2块，已知小礼盒比大礼盒多3个，则这下巧克力共有 块。

解析：盈亏问题。 题意可转化为每盒装5块，多10块；每盒装8块，少

3×8+2=26块 小礼盒个数：（26+10）÷（8—5）=12个 巧克力块数：12×5+10=70块

14．从甲地到乙地，小张走完全程用2小时，小李走完全程用1小时，如果小张

和小李同时从甲地出发去乙地，后来，在某一时刻小张未走得路程刚好是小李未走的路程的2倍，那么此时他们走了 分钟。

解析：行程问题。 解法一：由小张走完全程用2小时，小李走完全程用1

小时可知，小李的速度是小张的２倍。因为小张和小李同时从甲地出发到乙地，所以在某一时刻，小李走的路程刚好是小张的２倍，而小张未走的路程又恰好是小李未走路程的２倍。因此，可把全程平均分成三份，在这个时刻，两人是刚好在全程中间的两个等分点上。小李走2份，小张走一份。可求出所用时间为：60÷3×2＝40分钟。或者用120÷3×1＝40分钟。

解法二：用方程解答此题易于理解。 把甲地到乙地全程看做单位“1”，则小张每分钟走全程的 1201，小李每分钟走全程的60 1 。 设x分钟后小张未走的路程恰好是小李未走的路程的2倍，那么 1— 1201x = 2×（1-60 1 x） 解得 x = 40 所以小张未走的路程恰好是小李为走的路程的2倍，那么此时他们走了 40分钟

15．有16盒饼干，其中15盒的重量（含盒子）相同，另外1盒少了几块，如果

用天平秤，那么至少秤 次就一定能够找出这盒饼干。

解析：操作问题。 我们从最简单的情况来分析和倒推。 如果只有三个盒

子，只有一个盒子（设为盒子A）重量不同（轻些），用天平称一次，我们一定能找出重量与另外两盒不同的盒子A。任拿两盒放在天平上，如果天平不平衡，则A在这两个盒子中；如果天平平衡，则A

是另外一个盒子。 盒子很多时，要找出与众不同的盒子A，就需要秤多次。 我们可以把3个盒子看做一个整体，天平两边同时称三个盒子。秤两次，就能找出盒子A的最多盒子数为3×3=9=32（秤第一次，可以找出盒子A在哪三个盒子中）盒子数在4～9，秤两次，都能找出盒子A。 显然，如果我们第一次秤的时候天平上每边放9个，秤三次，就能找出盒子A的最多盒子数为9×3=27=33。 以此类推，可以得出规律： 盒子数目 称量次数 2～31 1 4～32 2 10～33 3 28～34 4 ? ? 3n-1+1～3n n 所以本题答案为3次

16．编号1～10的10名篮球运动员轮流进行三人传球训练，第1轮由编号（1，

2，3）的队员训，然后依次是（4，5，6），（ 7，8，9），（ 10，1，2），?的队员训练，当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第 轮训练。

解析：周期问题 [10，3]=30，30÷3+1=11

17．将一个胶质的正方体扩大成另一个正方体，使新正方体的表面积是原来正方体表面积的4倍，则新正方体的棱长是原正方体的 倍，体积是原正方体体积的 倍。

解析：正方体的体积和表面积。 正方体的棱长扩大n倍，则正方体的表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。

18．将55株杜鹃花分成株数相同的若干份，32株月季也分成株数相同的若干份，然后将这两种花逐份间隔种植，排成一列，并且两端都种杜鹃，如图3所示，那么每份杜鹃有 株，每份月季有 株。

解析：由图可知，杜鹃比月季的份数多1。 55=1×55=5×11；32=1×32=2

×16=4×8，所以杜鹃分成5份，每份11株；月季分成4份，每份8株

19．从1分，2分，5分的硬币各有5枚的一堆硬币中取出一些，合成1角钱，

共有不同的取法 种。

解析：枚举法 无1分硬币：2×5，5×2 有1个1分硬币：1+2+2+5 有2

个1分硬币：1+1+2×4 有3个1分硬币：1×3+2+5 有4个1分硬币：1×4+2×3 有5个1分硬币：1×5+5 共7种取法。

20．将1到2013中的偶数排成一列，然后按每组1，2，3，4，1，2，3，4?个

数的规律分组如下（每个括号为一组）：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），（22），（24，26），?，则最后一个括号内的个数之和是 。 解析：数列数组，周期问题。 1～2013中有1006个偶数，1+2+3+4=10， 10个数为一个周期，1006÷10=100?6 6—1—2=3，所以最后一个括号

内有最后三个数，分别是2008，2010，2012，和为6030。

附加题（每题10分，共20分）

1．将1，2，3，4，5，6随意填入图4 的小圆圈内，将相邻两数相乘，再将所得的6个乘积相加，则得到的和最小是 。

解析：操作问题，最值问题。 要6个乘积和最小，显然1与5，6相邻，6

和1，2相邻，5和1，3相邻，4和2，3相邻。如图所示： 1×6+2×6+2×4+4×3+3×5+5×1=6+12+8+12+15+5=58

2．如图5，5个等腰直角三角形叠放在一起，它们的斜边都在一条直线上，已知最小的等腰直角三角形的斜边长4厘米，其余4个等腰直角三角形的斜边依次多4厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米。 解析：等腰直角三角形面积问题。 等腰直角三角形的面积等于斜边×（斜

边÷2）÷2=斜边2÷4 5个等腰直角三角形斜边依次是4、8、12、16、20（单位cm） 阴影部分的面积是：（202—162+122—82+42）÷4=60cm2