（1）估计上述回归，并按照教材式（3-46）的形式报告回归结果。 （2）失业率的变化是实际GDP增长率的一个决定因素吗？为什么？ （3）如何解释回归中的截距系数？它是否有经济意义？ 答：该问题是练习17的延伸。

（1）根据回归模型的形式，我们首先要根据实际GDP（RGDP）和失业率 （UNRATE）计算新变量的值，具体数值见回归结果输出表。计算公式如下：

CHUNRATE=UNRATE-UNRATE??1?PCTCRGDP=??RGDP/RGDP?-1????100?100运用EViews进行回归，可得以下结果：

Dependent Variable：PCTCRGDP Sample（adjusted）：1960 2006

Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C 3.319 11 0.166 7341 9.906 54 0.0000 CHUNRATE -1.862 97 0.185 785 -10.027 58 0.0000 R-squared 0.695 6 注意：样本的起始时间从1960年变为1961年，这是因为我们计算变化率（RGDP和UNRATE）时损失了第一期的观测值。

（2）是的。因为斜率估计量的t值为-10.028，其相应的p值几乎为零。 （3）截距项的回归系数在统计上也是显著的。其经济学意义为当失业率为零时，实际GDP的增长率为3.3%，该数字可以理解为长期或稳态时的GDP增长率。

20．教材例2-3讨论了股票价格与利率之间的关系。教材式（2-24）给出的回归结果是统计显著的吗？给出必要的计算。

答：运用EViews软件进行回归，可得以下结果：

Dependent Variable：SP500 Sample：1980 1999 Variable Coefficient Std．Error t-Statistic Prob C 404.406 7 128.647 5 3.143 5 0.0041 1/MTB3 996.865 6 404.232 4 2.466 1 0.0206 R-squared 0.273968 斜率的回归系数在2%的显著水平下是显著的，截距的回归系数在0.4%的显著水平下也是显著的。由于留存误差的问题，此处的回归结果和书中的回归结果有微小的不同。

21．教材例2-5讨论了古董钟和它的价格。根据教材表2-14，得到了回归结果教材式（2-27）和教材式（2-28）。求每个回归结果的标准误、t值和r。检验两个回归的斜率系数是否是统计显著的。

答：运用EViews，可得教材式（2-27）的回归结果如下： Dependent Variable：PRICE Sample：1 32 Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C -191.666 2 264.439 3 -0.724 802 0.4742 AGE 10.485 62 1.793 729 5.845 711 0.0000 R-squared 0.532509 回归模型斜率在统计上是高度显著的，因为零假设为真的条件下，令t统计量大于或等于5.8457的p值几乎为零。而截距项的p值却很高，因此其在统计上是不显著的。

同样，可得教材式（2-28）的回归结果为：

Dependent Variable：PRICE Sample：1 32 2

Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C 807.950 1 231.092 1 3.496 226 0.0015 NOBIDDERS 54.572 45 23.266 05 2.345 582 0.0258 R-squared 0.154971 此时两个变量回归系数的p值都很小，因此其在统计上是显著的。

22．参考习题22。利用OLS回归回答问题（1）、（2）和（3）。 答：下表所呈现的回归结果同练习2.16的结果相同。 （1）EViews的回归结果如下： Dependent Variable：ASP Sample：1 64 Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob. C -882 20.49 766 38.60 -1.151 1 0.2541 GPA 552 27.44 226 97.53 2.433 2 0.0179 R-squared 0.087 2

可见，GPA对ASP存在正向影响，其回归系数在统计上是显著的，因为相应回归系数的p值非常小。 （2）ASP对CMAT的回归结果如下： Dependent Variable：ASP Sample：1 65 Variable Coefficient Std Error t-Statisfic Prob． C -241 386.6 29 464.86 -8.192 36 0.0000 GMAT 511.720 7 44.357 05 11.536 4 0.0000 R-squared 0.6822 GMAT回归系数的估计量在统计上是显著的，且其对ASP存在正向影响。 （3）ASP对学费的回归结果：

Dependent Variable：ASP Sample：1 65 Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C 42 878.33 5 502.063 5 7.793 14 0.0000 TUITION 1.634784 0.156 924 10.417.7 0.0000 R-squared 0.6364 学费（在一定程度上反映了教学质量）对ASP存在显著的正向影响。同样，入学等级对ASP也存在显著的正向影响，这一点可以从以下的回归结果中看出：

Dependent Variable：ASP Sample：1 65 Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C -29 943.60 10 973.495 -2.728 72 0.0089 RECRUITER 37 300.30 3 020.518 7 12.348 97 0.0000 R-squared 0.7644

23．表3-7给出了美国1959～2006年进口货物支出（Y）和个人可支配收入（X）的数据（见网上教材）。根据表中的数据，估计进口支出函数，给出常用的统计量，并检验假设：进口支出与个人可支配收入不相关。

答：回归结果如下：其中Y为进口货物支出，X为个人可支配收入。

Dependent Variable：Y Sample：19592006 Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C -136.164 9 23.565 09 -5.778 25 0.0000

X 0.208 248 0.005 467 38.091 1 0.0000 R-squared 0.9693 不难发现，个人可支配收入同进口货物支出之间存在显著的正向关系。斜率项的p值几乎为零，因此可以拒绝零假设。

24．证明OLS估计量b1和b2是线性估计量，并证明这些估计量是误差项ui的线性函数。 （提示：b2?） ?xiyi/?xi??wiyi其中，wi?xi/?xi，注意X是非随机的。

22答：令wi?xi/?xi，则b2??wiyi，因此b2是一个线性的估计量，即b2是Y的线性函数，在推导过程

2中，我们将X设定为非随机的。类似的步骤可以证明b1也是线性的估计量。

因为

?xy??xY??x?B?BX?x?x?x?x?B?xX??xu?B?x?x?x?xu?B??x?xX?1。

推导过程中运用了?x???X?X??0和

?xb2?ii2ii2ii122ii1i2ii22ii2iii2ii2iiii?ui?

ii2i?xiui????B2。 因此有E?b2??E?B2?2??xi?????xiui?E??xiui?2??注意：E?，这是因为。类似的步骤x?i为常数且X和u不相关（OLS基本假定）2??x2??xii??可以推导出b1也是无偏的。

25．证明教材式（3-35）。（提示：把教材式（3-33）平方，然后利用OLS的性质。） 答：对式yi?b2xi?ei两边同时取平方再求和，因为

?xe?0，有：

ii22?y?b2

2i?b22?xi??ei?2b2?xiei2i22?x??ei

第四章 多元回归：估计与假设检验

4.1 复习笔记

一、三变量线性回归模型

1．三变量回归模型的函数形式

把双变量总体回归函数（PRF）一般化，即可写出三变量PRF的非随机形式：

E?Yt??B1?B2X2t?B3X3t （4-1）

随机形式为

Yt?B1?B2X2t?B3X3t?ut?E?Yt??ut （4-2）

其中，Y——应变量；X2,X3——解释变量；u——随机扰动项，在三变量模型或多元回归模型中，引入u的原因与双变量模型相同。B1是截距，表示了当X2,X3为零时得Y的平均值，B2,B3称为偏回归系数。

多元回归模型的随机形式式（4-2）表明，任何一个Y值可以表示成为两部分之和：

（1）系统成分或确定性成分B1?B2X2t?B3X3t，也就是Y的均值E?Yt?（即总体回归线上的点）。 （2）非系统成分或随机成分u。由除X2、X3以外其他因素决定。 2．偏回归系数的含义

B2,B3称为偏回归系数或偏斜率系数。B2度量了在X3保持不变的情况下，X2单位变动引起Y均值E?Y?的变化量。同样的B3度量了在X2保持不变的情况下，X3单位变动引起Y均值E?Y?的变化量。这是多元回归的一条特殊性质；在双变量情形下，由于仅有一个解释变量，因而无须担心模型出现其他解释变量。而在多元回归中，想要知道的是Y均值的变动有多大比例“直接”来源于X2，多大比例“直接”来源于X3。

二、多元线性回归模型的若干假定

假定1：回归模型是参数线性的，并且是正确设定的；

假定2：X2、X3与扰动项u不相关。如果X2、X3是非随机的（即X2、X3在重复抽样中取固定值），则这个假定将自动满足。

但是，如果变量X是随机的，那么它们必须独立分布于误差项u，否则无法得到回归系数的无偏估计值。

假定3：误差项均值为零，即：E?ui??0。 假定4：同方差假定，即u的方差为一常量：

var?ui???2

假定5：误差项ui和uj无自相关，即

cov?ui,uj?,i?j

假定6：解释变量X2和X3之间不存在完全共线性，即两个解释变量之间无严格的线性关系，这是相对于双变量回归模型一个新假定。

假定7：为了进行假设检验，假定随机误差u服从均值为零，（同）方差为?2的正态分布。即

ui~N?0,?2?

根据假定6，解释变量X2和X3之间不存在严格的共线性，这个假定也称为无共线性或无多重共线性假定。无完全共线性通俗的解释是，变量X2不能表示为另一变量X3的线性函数。因而，如果有：

X2i?3?2X3i

或

X2i?4X3i

则这两个变量之间是共线性的，因为X2和X3之间存在严格的线性关系。

在完全共线性的情况下，不能估计偏回归系数B2和B3的值；换句话说，不能估计解释变量X2和X3各自对应变量Y的影响，因为在模型中没有两个独立的解释变量。

三、多元回归参数的估计 1．普通最小二乘估计量

要求OLS估计量，首先写出与PRF式（4-2）相应的样本回归函数（SRF）：

Yt?b1?b2X2t?b3X3t?et （4-3）

样本回归方程为：

??b?bX?bX （4-4） Yt122t33t即估计的总体回归线（实际上是一个平面）。 OLS原则是选择未知参数值使得残差平方和（RSS）

?e2t尽可能小。首先，把模型（4-3）写为：

et?Yt?b1?b2X2t?b3X3t （4-5）

将方程两边平方再求和，得：

RSS:?et2???Yt?b1?b2X2t?b3X3t? （4-6）

最小二乘法就是使RSS（Yt真实值与估计值之差的平方和）最小化。 利用微积分求最小值的方法，可得到得到如下（最小二乘）正规方程：

2Y?b1?b2X2?b3X3?YX?YXt2t3t?b1?X2t?b2?X2t2?b3?X2tX3t ?b1?X3t?b2?X2tX3t?b3?X3t2对上面方程做简单的代数变换，得到如下三个OLS估计量：

b1?Y?b2X2?b3X3 （4-7） yx???x????yx???x??b???x???x????xx?yx???x????yx???x??b???x???x????xx?2t2t2tt3t22222t3t2t3t2t3t2tt2t32222t3t2t3t2t3tx? （4-8） ? （4-9）

2t3tx