勾股定理

本章总结提升

问题1 勾股定理

直角三角形三边的长有什么特殊的关系？

例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________． 【归纳总结】 当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边．

问题2 用拼图证明勾股定理

勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？

例2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：

① ②

图14－T－1

将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a＋b＝c. 证明：连结DB，DC，过点D作BC边上的高DF，DF＝EC＝b－a. 121

∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b＋ab，

22

222

S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，

121121

∴b＋ab＝c＋a(b－a)． 2222∴a＋b＝c.

请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°. 求证：a＋b＝c.

【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想．

问题3 勾股定理的应用

勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？

例3 如图14－T－2所示，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯脚B到墙底端O的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？

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2

1

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图14－T－2

问题4 勾股定理与方程思想的综合运用

已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你判断的依据是什么？证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？

例4 如图14－T－3，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的路程相等，则这棵树有多高？

图14－T－3

【归纳总结】 利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键．

例5 如图14－T－4是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高均分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是______dm.

图14－T－4