最新八年级数学上册第14章勾股定理本章总结提升练习华东师大版 下载本文

勾股定理

本章总结提升

问题1 勾股定理

直角三角形三边的长有什么特殊的关系?

例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5,13,则第三条边长为________. 【归纳总结】 当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长,并且未表明直角边和斜边时,一定要分类讨论,防止漏解.若题目中已知直角三角形的两条相等的边长,则这两条边一定是直角边.

问题2 用拼图证明勾股定理

勾股定理的证明方法有哪些?赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法?

例2 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图14-T-1①或②摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程:

① ②

图14-T-1

将两个全等的直角三角形按图①所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a+b=c. 证明:连结DB,DC,过点D作BC边上的高DF,DF=EC=b-a. 121

∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b+ab,

22

222

S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),

121121

∴b+ab=c+a(b-a). 2222∴a+b=c.

请参照上述证法,利用图②完成下面的证明.

将两个全等的直角三角形按图②所示摆放,其中∠DAB=90°. 求证:a+b=c.

【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”,这两种方法体现的是同一种思想——化归思想.

问题3 勾股定理的应用

勾股定理有哪些应用?运用勾股定理解决实际问题的关键是什么?

例3 如图14-T-2所示,一架2.5米长的梯子AB斜靠在一堵竖直的墙AO上,这时梯脚B到墙底端O的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米,那么梯脚将外移多少米?

2

2

2

2

2

2

1

212

图14-T-2

问题4 勾股定理与方程思想的综合运用

已知一个三角形的三边长,怎样判断它是不是直角三角形?你判断的依据是什么?证明勾股定理的逆定理运用了什么方法?

例4 如图14-T-3,在一棵树的10米高B处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20米的池塘C,而另一只爬到树顶D后直扑池塘C,结果两只猴子经过的路程相等,则这棵树有多高?

图14-T-3

【归纳总结】 利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键.

例5 如图14-T-4是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高均分别为5 dm、3 dm和1 dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,点A有一只蚂蚁,想到点B去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从点A出发,沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是______dm.

图14-T-4