.

习题五

1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：（单位：kg）

日 期 1 2 4 9 10 重 量 5500 5800 5740 5710 5440 5680 5240 5600 5400 5410 5430 5400 5640 5700 5660 5700 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（?=0.05） 解 根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5.

2假设样本观测值yij(j?1,2,3,4)来源于正态总体Yi~N(?i,?),i?1,2,...,5 .

检验的问题：H0:?1??2?L??5,计算结果：

H1:?i不全相等 .

表5.1 单因素方差分析表

方差来源 因素A 误差 自由度 4 15 平方和 227680 216175 均方 56920 14412 F值 3.9496 P值 0.02199 * 注释: 当?=0.001表示非常显著，标记为 ‘***’，类似地，?= 0.01，0.05，分别标记为 ‘**’ ，‘*’ .

查表F0.95(4,15)?3.06，因为F?3.9496?F0.95(4,15)，或p= 0.02199<0.05， 所

以拒绝H0，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异.

2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验获得如下数据： 催化剂 1 2 3 4 得 率 0.88 0.85 0.79 0.86 0.85 0.83 0.87 0.92 0.85 0.83 0.90 0.84 0.78 0.81 0.81 0.86 0.90 0.87 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（?=0.05）

解

根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 .

2假设样本观测值yij(j?1,2,...,ni)来源于正态总体Yi~N(?i,?),i?1,2,...,5 .其中

样本容量不等，ni分别取值为6，5，3，4 .

.

.

检验的问题：H0:?1??2??3??4,计算结果：

H1:?i不全相等 .

表5.2 单因素方差分析表

方差来源 因素A 误差 自由度 3 14 平方和 0.0083467 0.0160533 均方 0.0027822 0.0011467 F值 2.4264 P值 0.1089 查表F0.95(3,14)?3.34，因为F?2.4264?F0.95(3,14)，或p= 0.1089 > 0.05，

所以接受H0，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 .

3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A，另一个是温度B，不同状态下的实测数据如下： 试验温度 含铜量 0.2% 0.4% 0.8% 20 ℃ 0 ℃ -20℃ -40℃ 10.6 7.0 4.2 4.2 11.6 11.0 6.8 6.3 14.5 13.3 11.5 8.7 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（?=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用.

设因素A,B分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12.

2假设样本观测值yij(i?1,2,3,j?1,2,3,4)来源于正态总体Yij~N(?ij,?),i?1,2,3,

j?1,2,3,4 .记?i?为对应于Ai的主效应；记??j为对应于Bj的主效应；

检验的问题：（1）H10:?i?全部等于零，H11:?i?不全等于零； （2）H20:??j全部等于零，H21:??j不全等于零； 计算结果：

表5.3 双因素无重复试验的方差分析表

方差来源 因素A 因素B 误差 总和 自由度 2 3 6 11 平方和 60.7817 64.3158 5.2717 130.3692 均方 30.3908 21.4386 0.8786 F值 34.5896 24.4006 P值 0.0005*** 0.0009*** 查表F0.95(2,6)?5.143，F0.95(3,6)?4.757，显然计算值FA,FB分别大于查表值，

或p= 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝H10,H20，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用.

4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量： 日产量 .

操 作 工 .

机 器 B1 15，15，17 17，17，17 15，17，16 18，20，22 B2 19，19，16 15，15，15 18，17，16 15，16，17 B3 16，18，21 19，22，22 18，18，18 17，17，17 M1 M2 M3 M4 设每个工人在每台机器上的日产量都服从正态分布且方差相同 .试检验：（?=0.05）

1） 操作工之间的差异是否显著？ 2） 机器之间的差异是否显著？

3） 它们的交互作用是否显著？

解 根据问题，这是一个双因素等重复(3次)试验的问题，要考虑交互作用.

设因素A,B分别表示为机器和操作，试验指标为日产量，水平为12. 假设样本观测值yijk(i?1,2,3,j?1,2,3,4)来源于正态总体

Yij~N(?ij,?2),i?1,2,3, j?1,2,3,4，k?1,2,3 .记?i?为对应于Ai的主效应；记??j为对应于Bj的主效应；记?ij为对应于交互作用A?B的主效应； 检验的问题：（1）H10:?i?全部等于零，H11:?i?不全等于零； （2）H20:??j全部等于零，H21:??j不全等于零； （3）H30:?ij全部等于零，H31:?ij不全等于零；

计算结果：

表5.4 双因素无重复试验的方差分析表

方差来源 因素A 因素B 相互效应A×B

误差 总和

自由度 3 2 6 24 35

平方和 2.750 27.167 73.5 41.333 144.75

均方 0.917 13.583 12.250 1.722

F值 0.5323 7.8871 7.1129

P值 0.6645 0.00233** 0.00192**

查表F0.95(3,24)?3.01，F0.95(2,24)?3.4，F0.95(6,24)?2.51，计算值FA?3.01,

FB?3.4,FA?B?2.51，或pA??0.05，而pB,pA?B均显著小于0.05，所以拒绝H20,H30，

接受H10，认为操作工之间的差异显著，机器之间的差异不显著，它们之间的交互作用显著 . 5 某轴承厂为了提高轴承圈退火的质量，制定因素水平分级如下表所示

因素 水平1 水平2

上升温度℃ 800 820

保温时间(h)

6 8

出炉温度℃

400 500

试问应选用哪张正交表来安排试验，并写出第三号试验条件；又如果试验结果为

试验号 硬度合格率％ 1 2 3 4 100 45 85 70 试填好正交试验结果分析表并对试验结果进行直观分析和方差分析 .

解 根据题意，这是一个3因素2水平的试验问题 .试验指标为硬度的合格率 .应选择正交

4表L4(2)来安排试验，随机生成正交试验表如下：

.

.

表5.5 试验案表方 表头设计 列号 1 2 3 4 A 1 1 2 1 2 B 2 2 1 1 2 C 3 1 2 2 1 空列 4 2 1 2 1 硬度合格率（%） 100 45 85 70 由此可见第三号试验条件为：上升温度800℃、保温时间6h、出炉温度500℃ . 直观分析需要计算K值，计算结果如下：

表5.6 计算表 表头设计 列号 1 2 3 4 A 1 1 2 1 2 185 115 23725 1225 B 2 2 1 1 2 130 170 22900 400 C 3 1 2 2 1 170 130 22900 400 空列 4 2 1 2 1 115 185 23725 1225 硬度合格率（%） 100 45 85 70 K=300 P=22500 Q=24150 Kj1 Kj2 Qj Sj 2ST2=3250 直观分析 由计算的K值知，因素A、B、C的极差分别为70，40，40，因此主次关系为A?B?C，B，C相当 .由于试验指标为硬度的合格率，应该是越大越好，所以各确定因素的水平分别是A1,B2,C1，即最佳的水平组合是A1B2C1，即最佳搭配为：上升温度800℃、保温时间8h、出炉温度400℃.

采用方差分析法，计算得下表：

表5.7 方差分析表

方差来源

A B C 误差 总和

平方和 1225 400 400 1225 3250

自由度 1 1 1 1 4

均方差 1225 400 400 1225

F值 1 0.33 0.33

如果显著性检验水平取??0.1，则查表得F0.9(1,1)?39.9，显然计算的F值

FA?1,FB?FC?0.33均小于查表值，所以认为三个因素对结果影响都显著 .

6 某良种繁殖场为了提高水稻产量，制定试验的因素位级表如下： 因素 位级1 位级2 位级3 .

品种 窄叶青8号 南二矮5号 珍珠矮11号 密度（颗/100m） 4.50 3.75 3.00 2施肥量（kg/100m） 0.75 0.375 1.125 2 .

问应选用哪张正交表安排试验，并写出第8号试验的条件；如果9组试验结果为（单位：kg/100m）：62.925，57.075，51.6，55.05，58.05，56.55，63.225，50.7，54.45，试对该正交试验结果进行直观分析和方差分析.

解 该问题属于3因素3水平的试验问题，试验指标为水稻产量 .根据题意应选择正交

4表L9(3)来安排试验，随机生成正交表如下：

2

表5.8 试验安排表 表头设计 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 B 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 C 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 实验结果 产量（kg/m%） 62.925 57.075 51.6 55.05 58.05 56.55 63.225 50.7 54.45 2

2由表可知，第8号试验的条件：品种（A3）珍珠矮11号，插值密度（B2）3.75棵/100m，施肥量（C1）0.75kg/100m纯氨； 直观分析需要计算K值，计算结果如下：

表5.9 计算表 表头设计 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .

A 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 B 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 C 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 实验结果 产量（kg/m%） 62.925 57.075 51.6 55.05 58.05 56.55 63.225 50.7 54.45 22