第2课时 等差数列的性质

学 习 目 标 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点) 核 心 素 养 1.借助等差数列通项公式的推广学习，提升学生的数据分析的素养． 2．能灵活运用等差数列的性质解决2．通过等差数列性质的学习，培养问题．(难点) 学生的数学运算的素养.

1．等差数列的图象

等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．

2．等差数列的性质

(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.

①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak.

②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….

(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则

①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．

(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．

(5){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列； d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列． 思考：能用am和d表示an吗？如何表示？

1

[提示] 能．an＝am＋(n－m)d．

1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( ) A．12 C．20

B．16 D．24

B [在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.] 2．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝( ) A．36 C．38

C [a3＋a5＝a2＋a6＝5＋33＝38.]

3．在等差数列 {an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 180 [因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. 所以a5＝90，

a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.]

4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.

15 [在等差数列{an}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15.]

B．37 D．39

1

A．－2 C．－1

1B．2 D．1

等差数列通项公式的推广 【例1】 (1)已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为( )

??1??715

(2)已知数列{an}中，a3＝6，a7＝14，且?a－1?是等差数列，则a5＝( )

?n???

10

A．9 12C．11

11B．10 13D．12 (1)C (2)B [ (1)∵a3＝9，a9＝3，又a9－a3＝6d，

2

∴3－9＝6d，即d＝－1.

??1??

(2)设等差数列?a－1?的公差为

?n???

d，则

1111

＝＋4d，∴15＝7＋a7－1a3－1

14－16－1

4d，解得d＝2.

∴

1111＝＋2d＝10，解得a5＝10.] a5－1a3－1

an－a1an－am

在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an，则d＝＝(n>1，m≠n)，

n－1n－m从而有an＝am＋(n－m)d．在解决与等差数列的通项有关的问题时，巧妙利用此结论，可以简化问题的计算过程．

1．(1)已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则数列{an}的通项公式为________； (2)若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，a1－a2

那么等于________．

b1－b2

4

(1)an＝12－n (2)3 [(1)设{an}的公差为d，则a8－a4＝4d，∴d＝－1.∴an＝a8＋(n－8)d＝4＋(n－8)×(－1)＝12－n.

(2)∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列， ?y－x＝3?a2－a1?，3?a2－a1??∴∴＝1，

4?b2－b1??y－x＝4?b2－b1?，a2－a14a1－a24

即＝，故＝.] b2－b13b1－b23

求这四个数．

3

灵活设元解等差数列 【例2】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，