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习题三：

?证明：是连通图G的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意

中的路

必含.

至少含有两个连通分支，设

及, G

证明：充分性: 是的割边，故是其中一个连通分支的顶点

集，是其余分支的顶点集，对?u?V1,?v?V2，因为中的以在每一条

路上，中的

必含。

不连通，而在中与连通，所必要性：取u?V1,v?V2，由假设中所有这表明不连通，所以e是割边。

路均含有边，从而在中不存在从与到的路，

?3.设G是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G是块 （2） G无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 ： 是块，任取的一点，一边，在边插入一点，使得成为两条边，由此得到新图的是阶数大于3的块，由定理，中的u,v位于同一个圈上，于是圈上。

： 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取的点u，边e，若在上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如不在上，由定理，的两点在同一个闭路上，在边插入一个点v，由此得到新图同一条路上。

：

连通，若不是块，则中存在着割点，划分为不同的子集块点在每一条

的路上，则与已知矛盾，是块。

,,,

无环，x?v1,y?v2，

，显然

的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在

，显然

中u与边都位于同一个

2019年－9月

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?7.证明：若v是简单图G的一个割点，则v不是补图的割点。

证明：是单图的割点，则同一分支中，令是与同一分支中，则它们在

有两个连通分支。现任取

, 如果

的补图中连通。若

不在在

的的

处于不同分支的点，那么，与在

的补图中邻接。所以，若是的割点，则不是补图的割点。

?12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。 解：??G1??2 最小点割 {6,8}

?(G1)?2 最小边割{（6,5），（8,5）}

??G2??5 最小点割{6,7,8,9,10}

?(G2)?5 最小边割{（2,7）…（1,6）}

?13.设H是连通图G的子图，举例说明：有可能k(H)> k(G). 解： 通常

.

e H 整个图为，割点左边的图为的的子图，

，则

.

2019年－9月