第一章 数字信号处理基本概念

题1-14图(a) 零极点示意图

（2）该系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关。如果x(n)?M，则y(n)?x(n)?x(n?1)?2M，因此系统是稳定系统。

MATLAB画出零极点图如下： b=[1 1]; a=[1 0]; zplane(b,a);

题1-14图(b) 零极点示意图

（3）系统是非因果系统，因为n时刻输出和n时刻以后的输入有关。如果x(n)?M，y(n)?M，因此系统是稳定的。

1-15 求下列单位脉冲响应的Z变换及收敛域，用MATLAB画出零极点分布图。

)0.(() （1）、2nun （2）、ej?0no(su(n) （3）、c1-16

)?(0)nun

第一章 数字信号处理基本概念

解：（1）由Z变换的公式可得其Z变换为：

11?0.2z?1=

zz?0.2，z?0.2。

利用MATLAB画出其零极点，程序及运行结果如题1-15图(a)所示： b=[1 0];

a=[1 -0.2]; zplane(b,a);

题1-15图(a) 零极点示意图

（2）利用Z变换公式可得：其Z变换为

11?ej?0z?1, z?ej?0

MATLAB画出零极点如下题1-15图(b)所示： w0=2*pi; x=exp(j*w0); b=[1]; a=[1 -x]; zplane(b,a);

题1-15图(b) 零极点示意图

1-17

第一章 数字信号处理基本概念

（3） 因为cos(?0n)?ej?0n?e2?j?0n，由（2）知ej?nu(n)的Z变换为

011?ej?0z?1

e?j?nu(n)的Z变换为

011?e?j?0z?1

所以得出cos(?0n)u(n)的变换经化简得：

1?z1?2z?1?1cos?0?2cos?0?z , z?1

利用MATLAB画出其零极点如下题1-15图(c)所示: w0=pi/4;

b=[1 -cos(w0)]; a=[1 -2*cos(w0) 1]; zplane(b,a);

题1-15图(c) 零极点示意图

1-16 已知系统函数如下：H(z)?系统是否稳定. 解： MATLAB程序如下：

A=[2 -2.9 0.1 2.3 -1.5] P=roots(A);

M=max(abs(P));

if(M<1) disp('系统稳定') else disp('系统不稳定') end

运行结果如下： A =

2.0000 -2.9000 0.1000 2.3000 -1.5000 系统稳定

1-17 设一因果LTI系统的差分方程为

y(n)?2y(n?1)?3y(n?2)?x(n)?4x(n?1)?5x(n?2)?6x(n?3)

并且已知初始条件为y(?1)??1，y(?2)?1，输入x(n)?0.2nu(n)，利用MATLAB求

(z?8)(z?2)2z?2.9z?0.1z?2.3z?1.5432，用MATLAB编程判断

1-18

第一章 数字信号处理基本概念

系统的输出y(n)。 解：%用迭代法求取10点数据

y=zeros(1,10); i=1:10; y(1)=-2-3+1; y(2)=2*y(1)+3+1+4;

y(3)=2*y(2)-3*y(1)+1+5+4*0.2; y(4)=2*y(3)-3*y(2)+4*0.2^2; for n=5:10

y(n)=2*y(n-1)-3*y(n-2)+4*0.2^(n-2); end

stem(i-1,y);xlabel('n');ylabel('y(n)'); 结果如题1-17图所示：

题1-17图 输出响应y(n)

1-18 一系统的差分方程描述如下：

y(n)?0.81y(n?2)?x(n)?x(n?2)

试确定该系统的频率响应，并求出输入序列为x(n)?10?10cos(的稳态输出。

解：由差分方程可得出H(z)?z?1z?0.8122n?2)?10cos(n?)，H(ej?)?1?e?2j??2j?1?0.81e

??0.9j，所以该系统为一稳定系统。 其特征根为z1、21-19

第一章 数字信号处理基本概念

当输入序列为x(n)?10?10cos(计算出：H(e)?0，H(ej0n?2)?10cos(n?)时，由稳态输出的定义，我们可以

j?j?2)?10.53，H(e)?0。所以其稳态输出为 n?2)

y(n)?10.53cos(用MATLAB画出其频率响应: 程序如下： b=[1 0 -1]; a=[1 0 0.81]; OMEG=-pi:pi/100:pi; H=freqz(b,a,OMEG);

subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H));

subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H))); 运行结果:

题1-18图 频率响应曲线

1-19 考虑一个三阶系统

y(n)?0.4y(n?1)?0.2y(n?2)?0.8y(n?3)?5x(n)

输入x(n)?u(n)，初始状态y(?1)?2，y(?2)?4和y(?3)?5，利用状态方程方法求出y(n)。

1-20