∴PG==．

点评：本题结合矩形的性质考查二次函数的综合应用，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的角、边关系求解． 19、（2008?常州）如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为2，下底长为4，腰长为2，这样的纸片共有5张．打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形？分别画出它们的示意图，并写出它们的周长．

考点：等腰梯形的性质。

分析：根据题意，可考虑等积的分割与拼接．

解答：解：一共可以拼出4种不同的等腰梯形．示意图为：

②周长为34． ①周长为22．

注：每画出一个正确图形，得（1分）；正确计算出相应图形的周长，得（1分）． 点评：这类题要在动手实践的基础上进行探索，要求学生具备动手实验操作能力和熟悉图形、具备推理论证的能力． 20、（2008?常州）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．

求证：AE平分∠BAD．

考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。

分析：要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB=BE，又AB=CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定，和矩形的性质，可确定ASA．即求证．

解答：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD，（1分） ∴∠BEF+∠BFE=90°． ∵EF⊥ED，

∴∠BEF+∠CED=90°．（2分） ∴∠BFE=∠CED． ∴∠BEF=∠CDE．（3分） 又∵EF=ED，

∴△EBF≌△DCE． ∴BE=CD．（4分）

∴BE=AB．∴∠BAE=∠BEA=45°．（5分） ∴∠EAD=45°． ∴∠BAE=∠EAD．（6分） ∴AE平分∠BAD．（7分）

点评：三角形全等的判定是中考的热点．求证的结果可一步步转化为全等三角形的对应边、对应角相等． 21、（2008?潍坊）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．

（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；

（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．

考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质。 专题：计算题。 分析：根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变和矩形的性质及直角三角形的性质，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定和性质求解． 解答：解：（1）过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形， ∴GH=AB=8，AH=BG=10，由图形的折叠可知△BFG≌△EFG， ∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°； ∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°，

∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠HEG=∠AFE， 又∵∠EHG=∠A=90°， ∴△EAF∽△GHE， ∴∴EF=5，

∴S△EFG=EF?EG=×5×10=25．

（2）由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF， ∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF， ∵EF∥BG，

∴∠BGF=∠EFG， ∴∠EGF=∠EFG， ∴EF=EG， ∴BG=EF，

∴四边形BGEF为平行四边形， 又∵EF=EG，

∴平行四边形BGEF为菱形； 连接BE，

BE，FG互相垂直平分， 在Rt△EFH中，

，

EF=BG=10，EH=AB=8， 由勾股定理可得FH=AF=6， ∴AE=AF+EF=16， ∴BE=

=8

，

∴BO=4，

∴OG==2，

∵四边形BGEF是菱形， ∴FG=2OG=4

，

答：折痕GF的长是4．

点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称变化，对应边和对应角相等． 22、（2008?新疆）（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）

（2）写出你的作法． 考点：作图—复杂作图。

分析：作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1，F1，G1，H1；连接H1E1，E1F1，G1F1，G1H1．四边形E1F1G1H1即为菱形；

还可以在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合；以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形． 解答：解：（1）所作菱形如图①，②所示．

说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③，图④的图形视为与图②是同一种．

（作出一个图形得3分） （2）图①的作法：

作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1，F1，G1，H1； 连接H1E1，E1F1，G1F1，G1H1． 四边形E1F1G1H1即为菱形． 图②的作法：

在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合； 以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2； 以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2； 连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形． （写对一个作法得2分）

（此题答案不惟一，只要画法及作法合理，正确，均可酌情得分．）

点评：此题综合考查了菱形和矩形形的性质以及一些基本作图的综合应用． 23、（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

考点：二次函数综合题。 专题：动点型。 分析：（1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，