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1.6 三角函数模型的简单应用

学习目标.1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

知识点.利用三角函数模型解释自然现象

在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化. 思考.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 答案.三角函数模型.

梳理.(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意.

读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型.

根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.

第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示：

类型一.三角函数模型在物理中的应用

例1.已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

π

)在一个周期内的图象，根据图中数据2

...

...

1

(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么

150ω的最小正整数值是多少？

11

解.(1)由图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，

900180则周期T＝2(t2－t1)＝2?2π

∴ω＝＝150π.

?1＋1?＝1. ?

?180900?75

T11?又当t＝时，I＝0，即sin?150π·＋φ180180?ππ

而|φ|<，∴φ＝.

26

π??故所求的解析式为I＝300sin?150πt＋?.

6??

?＝0，

??

12π1

(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，

150ω150∴ω≥300π>942，又ω∈N， 故所求最小正整数ω＝943.

反思与感悟.此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.

跟踪训练1.一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位π

置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋).

6(1)画出它的图象； (2)回答以下问题：

①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 2π

解.(1)周期T＝＝1(s).

2π列表：

*

t 0 1 65 12...

2 311 121 ...

π2πt＋ 66sin(2πt＋π) 6

描点画图：

π 6π 2π 3π 22π π2π＋ 63 6 0 －6 0 3

(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 类型二.三角函数模型在生活中的应用

例2.某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：

69

(1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟？

2(2)当此人距离地面不低于(59＋49

3)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有2

多少分钟可以看到游乐园的全貌？

2π

解.(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y 米，则α＝t18π

＝t. 9

...

...

9898π

由y＝108－－cost

229π

＝－49cost＋59(t≥0).

9

π69π1

令－49cost＋59＝，得cost＝，

9292ππ

∴t＝2kπ±， 93

故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3，15，21，33. 69

故当此人第四次距离地面 米时用了33分钟.

2π49

(2)由题意得－49cost＋59≥59＋3，

92π3

即cost≤－.

92

故不妨在第一个周期内求即可， 5ππ7π1521所以≤t≤，解得≤t≤，

696222115

故－＝3. 22

因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.

反思与感悟.解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.

跟踪训练2.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；

(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.

2ππ解.(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s

3015π

时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0).

15

...

...

ππ1

(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，

15152525

则≤t≤. 22

故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.

1.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移

s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos?

的周期是1 s时，线长l＝________ cm. 答案.2 4π解析.∵T＝

2π

＝1，∴

??gπ?

t＋?，其中g是重力加速度，当小球摆动l3?

gglgg＝2π，∴l＝2. l4π

?π?2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos??x－6??

?6?

(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃. 答案.20.5

28－1828＋18?π?解析.由题意可知A＝＝5，a＝＝23，从而y＝5cos??x－6??＋23.故10月份

22?6?的平均气温值为

??y＝5cos?×4?＋23＝20.5.

?

3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝

π

?6

Asin(ωt＋)，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝，且每经过π s小球

回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是____________________.

π2π3

πππ

答案..α＝sin(2t＋)，t∈[0，＋∞)

332π解析.∵当t＝0时，α＝，

3

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