...
πππ∴＝Asin，∴A＝. 323
2π
又∵周期T＝π，∴＝π，解得ω＝2.
ω故所求的函数解析式是α＝
ππ
sin(2t＋)，t∈[0，＋∞). 32
4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin(t＋)，t∈[0，24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ ππ
解.(1)因为f(t)＝10－2sin(t＋)，
123又0≤t<24，
πππ7πππ
所以≤t＋<，－1≤sin(t＋)≤1.
31233123ππ
当t＝2时，sin(t＋)＝1；
123ππ
当t＝14时，sin(t＋)＝－1.
123
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温. ππ
由(1)得f(t)＝10－2sin(t＋)，
123ππ
故有10－2sin(t＋)>11，
123ππ1
即sin(t＋)<－. 1232
7πππ11π
又0≤t<24，因此 61236即10 故在10时至18时实验室需要降温. 1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤 π12π3 ... ... (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验. 课时作业 一、选择题 1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是(..) A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为－5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 答案.D 解析.该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，故C是错误的.故选D. 2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)π??＋b?A>0，ω>0，|φ| A.f(x)＝2sin?x－?＋7(1≤x≤12，x∈N) 4??4π??π* B.f(x)＝9sin?x－?(1≤x≤12，x∈N) 4??4π* C.f(x)＝22sinx＋7(1≤x≤12，x∈N) 4π??π* D.f(x)＝2sin?x＋?＋7(1≤x≤12，x∈N) 4??4答案.A 9－5 解析.令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C. 2 9－52ππ 或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝. 2ω4 ... ... ?π ∴f(x)＝2sin?x＋φ ?4 ?＋7. ?? ∵当x＝3时，y＝9， ∴2sin? ?3π＋φ?＋7＝9，即sin?3π＋φ?＝1. ??4? ?4??? ππ∵|φ|＜，∴φ＝－. 24 π??π* ∴f(x)＝2sin?x－?＋7(1≤x≤12，x∈N). 4??4 3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则人流量是增加的时间段为(..) 2A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20] 答案.C πtπ 解析.由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z知，函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]， 222 tk∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]?[3π，5π]，故选C. 4.如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(..) 2π A.ω＝，A＝3 152π C.ω＝，A＝5 15答案.A 解析.由题目可知最大值为5，所以5＝A×1＋2?A＝3. 15 .ω＝，A＝3 2π15 .ω＝，A＝5 2π T＝15 s，则ω＝ 2π .故选A. 15 ?π?5.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin?x＋φ?＋?6? k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(..) ... ... A.5 B.6 C.8 D.10 答案.C 解析.由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5. ∴ymax＝k＋3＝8. 6.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM＝BP＝2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于(..) ππ A.30sin(t－)＋30 122ππ C.30sin(t－)＋32 62答案.B 解析.过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线，作为y轴，过点B作x轴的垂2ππ 线BN交x轴于N点，如图，点A在圆O上逆时针运动的角速度是＝，所以t分钟转过 126的弧度数为 ππππ t.设θ＝t，当θ>时，∠BON＝θ－，h＝OA＋BN＝30＋30sin(θ－6622 ππ .30sin(t－)＋30 62ππ .30sin(t－) 62 πππππ )，当0<θ<时，上述关系式也适合.故h＝30＋30sin(θ－)＝30sin(t－)＋30. 22262 7.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系π 式为s＝6sin(100πt＋)，那么单摆来回摆一次所需的时间为(..) 6 ... ... 11 A. s B. s C.50 s D.100 s 50100答案.A 二、填空题 8.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋1 示，则当t＝秒时，电流强度是________安. 50 π )(A>0，ω≠0)的图象如图所6 答案.5 解析.由图象可知A＝10， 411 周期T＝2×(－)＝， 30030050 2ππ ∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋)， T61π 当t＝秒时，I＝10sin(2π＋)＝5(安). 506 9.设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________. 答案.80 2π11解析.T＝＝(分)，f＝＝80(次/分). 160π80T10.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为________________. π 答案.h＝－6sin t，t∈[0，24] 6 解析.根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，则A＝6，T＝12， 2ππ ＝12，∴ω＝.点(6，0)为ω6 ππ “五点”作图法中的第一点，∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h＝6sin(t－π)＝－6sin 66π t，t∈[0，24]. 6 ...