2.4 正态分布

课时过关·能力提升

,x∈R,则f(x)( )

1.若f(x)=

A.有最大值,也有最小值 C.无最大值,也无最小值

B.有最大值,但无最小值 D.有最小值,但无最大值

解析:当x=1时,f(x)有最大值f(1)=答案:B 无最小值.

2.设两个正态分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函数曲线如图所示,则有( )

A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2

B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

解析:μ是平均数,σ2是方差,μ是密度函数图象的对称轴与x轴交点的位置,所以μ1<μ2.此图象越 “瘦高”,数据越集中,σ2越小,所以σ1<σ2,选A. 答案:A 3.若随机变量X~N(μ,σ2),则Y=aX+b服从( ) A.N(aμ,σ2)

B.N(0,1)

C.N D.N(aμ+b,a2σ2)

解析:∵X~N(μ,σ2),∴E(X)=μ,D(X)=σ2.

∴E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+b,

D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2σ2. 故Y~N(aμ+b,a2σ2). 答案:D 4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.683,则P(X>4)等于( ) A.0.158 8

B.0.158 7

C.0.158 6 D.0.158 5

1

解析:由正态曲线的性质知,其图象关于x=3对称,

所以P(X>4)=0.5-P(2≤X≤4)

=0.5-答案:D 0.683=0.158 5.

5.把一正态曲线C1沿着x轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的曲线C2,下列说法不正确的是( )

A.曲线C2仍是正态曲线

B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等

C.以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2

D.以曲线C2为正态曲线的总体的数学期望比以曲线C1为正态曲线的总体的数学期望大2 解析:曲线C1向右平移2个单位后,曲线形状没有改变,仍为正态曲线,且最高点的纵坐标不变,从而σ不变,所以方差不变.但图象平移后对称轴变了,即μ变了,数学期望比原来的数学期望大2. 答案:C 6.已知正态总体落在区间(0.2,+∞)内的概率是0.5,则相应的正态曲线f(x)在x= 时,达到最高点.

解析:由正态曲线关于直线x=μ对称和在区间(0.2,+∞)上的概率为0.5,得μ=0.2. 答案:0.2

7.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为 .

解析:因为ξ的概率密度函数曲线关于直线x=1对称,所以ξ在(0,1)内取值的概率与ξ在(1,2)内取值的概率相等,故ξ在(0,2)内取值的概率为0.4×2=0.8. 答案:0.8

★8.在一次数学考试中,某班学生的分数ξ~N(110,202),这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数.

分析要求及格的人数,就要求出P (ξ≥90),而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后利用对称性求解. 解:因为ξ~N(110,202),

所以μ=110,σ=20,

P(110-20≤ξ≤110+20)=0.683. 所以ξ>130的概率为

(1-0.683)=0.158 5,

ξ≥90的概率为0.683+0.158 5=0.841 5. 所以及格的人数为54×0.841 5≈45,

2

130分以上的人数为54×0.158 5≈9.

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