第一节 数列的概念与简单表示法
课时作业 A组——基础对点练
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n＋n，则a4的值为( ) A．4 C．8
解析：a4＝S4－S3＝20－12＝8. 答案：C
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( ) A．2
n－1
2
B．6 D．10
?3?n－1B．?? ?2?
1D．n－1 2
?2?n－1C.?? ?3?
解析：由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，
Sn＋13
＝，而S1＝a1＝1，所以SnSn2
?3?n－1
＝??，故选B. ?2?
答案：B
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N，则an＝( ) A．2C．2
n＋1
*
B．2 D．2
n－2
nn－1
解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，∴an＋1＝2an，∵a1＝2a1－4，∴a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＝4·2答案：A
4．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)(n≥2，n∈N)，则的值是( ) 15A. 163C. 4
15B．
83D． 8
n*
n－1
＝2
n＋1
，故选A.
a3a5
111234
解析：由已知得a2＝1＋(－1)＝2，∴2a3＝2＋(－1)，a3＝，∴a4＝＋(－1)，a4＝3，
2222a31335
∴3a5＝3＋(－1)，∴a5＝，∴＝×＝.
3a5224答案：C
5．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝解析：∵Sn＝
a1
n－3
，若a4＝32，则a1＝__________.
a1
－3
n，a4＝32，
255a163a11∴－＝32，∴a1＝.
3321答案：
2
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2，则a3＋a4＝________. 解析：当n≥2时，an＝2－2答案：12
7．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝(1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式．
4
解析：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
3解得a2＝3a1＝3.
5
由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
33
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
2(2)由题设知a1＝1. 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝整理得an＝
nn－1
n＝2
n－1
，所以a3＋a4＝2＋2＝12.
23
n＋2
an.
3
n＋2n＋1
an－an－1，
3
3
n＋1
an－1. n－1
34
于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，
12
nn＋1
an－1＝an－2，an＝an－1.
n－2n－1
将以上n个等式两端分别相乘， 整理得an＝
nn＋
2
.
显然，当n＝1时也满足上式． 综上可知，{an}的通项公式an＝nn＋
2
2
.
8．已知数列{an}的通项公式是an＝n＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)对于n∈N，都有an＋1>an，求实数k的取值范围． 解析：(1)由n－5n＋4<0，解得1 所以数列中有两项是负数，即为a2，a3. * 2* ?5?292 因为an＝n－5n＋4＝?n－?－， ?2?4 由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2. (2)由对于n∈N，都有an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n＋kn＋4， * 2 k3* 可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N，所以－<，即得k>－3. 22 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)． B组——能力提升练 1．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( ) A．21 C．23 B．22 D．24 2472 解析：由3an＋1＝3an－2得an＋1＝an－，则{an}是等差数列，又a1＝15，∴an＝－n.∵ak·ak333 ＋1 4547?472??452?<0，∴?－k?·?－k?<0，∴ 答案：C 2．设函数f(x)＝－x＋14x＋15，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，数列{an}的前n项和Sn最大时，n＝( ) A．14 C．14或15 2 2 B．15 D．15或16 解析：由题意，－n＋14n＋15≥0，∴－1≤n≤15，∴数列{an}的前n项和Sn最大时，n＝14或15. 答案：C ln a1ln a2ln a3ln an3n* 3．(2018·河南八市联考)已知数列{an}满足···…·＝(n∈N)， 3693n2则a10＝( ) A．e 110 C．e 3 30 100B．e 3D．e 40 ln a1ln a2ln a3ln an3n* 解析：∵···…·＝(n∈N)， 3693n2ln a1ln a2ln a3ln an－1 ∴···…·＝ 369n－3n∴ln an＝，n≥2， n－13n∴an＝e， n－1100 ∴a10＝e. 3答案：B 4．(2018·洛阳市模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则(a1a3－a2)(a2a4－a3)(a3a5－a4)…(a2 015a2 017－a2 016)＝( ) A．1 C．2 017 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n－ 2 (n∈N)， * B．－1 D．－2 017 2 解析：∵a1a3－a2＝1×2－1＝1，a2a4－a3＝1×3－2＝－1， 22 a3a5－a24＝2×5－3＝1，…，a2 015a2 017－a2 016＝1. ∴(a1a3－a2)(a2a4－a3)(a3a5－a4)…(a2 015a2 017－a2 016)＝1答案：B 22221 008 ×(－1) 1 007 ＝－1. ?111??1?nn5．现定义an＝5＋??，其中n∈?，，，1?，则an取最小值时，n的值为__________． ?5??1052? 1n解析：令5＝t>0，考虑函数y＝t＋，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递 t增，且当t＝1时，y的值最小，再考虑函数t＝5，当0 10?5?1 答案： 10 6．已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是__________． 解析：∵an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴首项，2为公比的等比数列，即an＋1＝2×2答案：31 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝4Sn－1(n∈N)． (1)证明：an＋2－an＝4； * xan＋1 ＝2，又a1＝1，∴{an＋1}是以2为 an－1＋1 n5 n－1 ＝2，∴a5＋1＝2，即a5＝31. (2)求{an}的通项公式． 解析：(1)证明：∵anan＋1＝4Sn－1， ∴an＋1an＋2＝4Sn＋1－1， ∴an＋1(an＋2－an)＝4an＋1，又an≠0， ∴an＋2－an＝4. (2)由anan＋1＝4Sn－1，a1＝1，求得a2＝3， 由an＋2－an＝4知，数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列， ∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴an＝2n－1. 8．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝log2求最大值． 解析：(1)由题意知Sn－Sn－1＝Sn－1－Sn－2＋2 n－1 n－1 (n≥3)． 256* ，n∈N，设数列{bn}的前n项和为Sn，当n为何值时，Sn有最大值？并a2n－1 (n≥3)，即an＝an－1＋2＋2 n－2 n－1 (n≥3)，∴an＝(ann－2 －an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋a2＝21＋2＝2＋1(n≥3)， nn－1 ＋…＋2＋5＝2 2n－1 ＋2＋…＋2＋2＋ 2 经检验，知n＝1,2时，结论也成立，故an＝2＋1. 25628－2n* (2)bn＝log2＝log22n＝log22＝8－2n，n∈N， a2n－12当1≤n≤3时，bn＝8－2n>0；当n＝4时，bn＝8－2n＝0； 当n≥5时，bn＝8－2n<0. 故n＝3或n＝4时，Sn有最大值，且最大值为S3＝S4＝12. 8 n