紊流阻力相似准则

????1 ?2 (4)

重力相似准则(佛汝德相似准则)

V2 Fr?gL (5)

压力相似准则(欧拉相似准则)

Eu?p ?V2 (6)

弹性力相似准则

Eu?p?V2 (7)

柯西准则 Ca??V2E0 (8)

马赫准则 M?V a (9)

式中λ——流动的沿程损失系数； g——重力加速度； p——流体压强； ρ——流体密度；

E0——流体的弹性模数，即作用在单位面积流体上的弹性力； a——声音在气体(可压缩流体)中的传播速度。 1．相似第一定理

“彼此相似的现象，同名准则数必定相等”。相似第一定理又称为相似正定理，第一定理指出了实验时应该测量哪些量的问题。

严格地说，判定两个流动是否相似，应该满足相似第一定理。即所有对应的同名准则数应该相等。换句话说，除包括几何相似与运动相似之外，还应包括作用于流体上的所有外力相似。但实际上同时满足所有的外力相似是不可能的。对于某个具体的流动来说，虽然同时作用着各种不同性质的外力，但总有一种或两种外力起主要作用，它们决定着流体

的运动状态。因此，在模型实验中，只要使主要外力满足相似条件，或主要的相似准则相等，这个实验就可进行下去。例如，一般而言，管内流动是在压差作用下克服管道摩擦而产生和流动，粘性力决定压差的大小，而其它力均是无足轻重的次要因素，此时，主要的相似准则即雷诺准则。

2．相似第二定理

相似第二定理又称为相似逆定理，可叙述为：“凡同一种类现象(即可用同一微分方程组描述的现象)，若单值性条件相似，并且由单值性条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等，则这些现象就必定相似”。

第二定理指出了模型实验应遵守的条件。但是，在实际工作中，要求模型与原型的单值性条件全部相似是很困难的。在保证一定精度的情况下，可允许单值性条件部份相似或近似相似。

§13-3 量纲分析法与相似第三定量(?定理)

在流体力学或其它学科领域中有时会遇到这样的情况：根据分析判断已知若干个物理量之间存在着函数关系，并且已知其中某一物理量受其余物理量的影响，但由于问题的复杂性，运用已有的理论分析方法尚不能确定这种变化过程的方程式，这时则必须借助于科学实验。如果用依次改变每个自变量的方法进行实验，工作量又过于巨大，为了减少工作量，同时又能使实验结果具有普通适用价值，则必须合理的选择实验变量，通常是将物理量之间的函数式转化成无量纲数之间的函数式。怎样确定实验中的无量纲数，这就需要?定理和量纲分析的知识。

在介绍?定理之前，先介绍量纲分析法。

所谓量纲(也称为因次)即物理量单位的种类。例如，小时、分、秒、是时间的不同测量单位但这些单位属于同一种类，均为时间单位，用[T]表示。则T就是上述时间单位的量纲，同理，米、厘米、毫米等同属长度单位，用[L]表示长度量纲。吨、千克、克同属质量单位，用[M]表示质量量纲。上面三个量纲，在国际单位制中，又称为基本量纲，而其它物理量的量纲，均可用基本量纲的不同指数幂乘积形式来表示。例如

长度L??LT?1 时间T力?质量?加速度?MLT?2速度?在流体力学中，取长度、质量、时间作为基本物理量，而其它物理量则是由基本量纲根据一定的物理方程导出的。因此，在量纲分析中，也取L、M、T作为基本量纲，在传热学中，还要加上一个温度的基本量纲[θ]。

而量纲分析法指出：一个物理方程式的等式两边应该具有相同的量纲。否则，则不是正确的物理程式。

然而，量纲分析法也有其不足之处。这是因为，物理量的基本量纲只有三个，即M、L、T。所以，只有当影响流动的参数也只有三个时，才能用三个等式来求解三个未知数(即三个指数)，上例影响流动的的参数有四个，即d，V，v，ρ，那么在只在三个等式方程的情况下，求解四个指数，即α，β，γ，δ，这就存在一个待定指数的问题。如果影响流动的参数更多，那么就有更多的待定指数。所以，这种方法使我们在指数的选取上存在着困难。 为此，柏金汉(E.Bucking.Ham)提出了改进的量纲分析法，即解决上述问题的另外一种更为普遍的方法，这就是著名的π的定理。

π定理(相似第三定理)叙述如下：

某一物理现象中，共有i个物理量(这些物理量不能由其它物理量组合而成)，这些物理量的基本量纲为j个，则i个物理量存在某种函数关系。 f(x1，x2，……，xi)=0

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如果用Π1，Π2，……，Πi-j表示由x1，x2，……，xi组成的无量纲量，则有：

F(Π1，Π2，……，Πi-j)=0 以上这个结论就是著名的π定理，也称为相似第三定理或柏金汉定理。

在π定理的应用中，通常在变量x1，x2，……，xi中选择j个不同的物理量作为重复变量，连同其余的i-j个变量组合成Π1，Π2，……，Πi-j。

在流体力学中，为了保证几何相似，常选择一个长度量纲，例如l或d；为了保证运动相似，常选择一个速度量纲，例如速度V；为了保证动力相似，常选择一个质量有关的量纲，例如流体的密度ρ。

最后，需要指出的是，相似理论或量纲分析的应用，必须要求对所要研究的物理问题有细致的观察和深刻的了解，这样才能有效地运用量纲分析或π定理，换句话说，这种方法归根到底只能从实验中来到实验中去，若缺乏实验资料，而单纯依靠量纲分析是得不出正确结果的。

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