曲线积分与曲面积分习题复习（补充）

1．已知曲线弧L:y?1?x2(0?x?1)，计算解： ds?1??

?Lxyds。

?dy??dx??102?Lxyds??xdx??xdx?1???2?1?x1?。 2?1?dx?dx， ?21?x?2注：计算曲线积分时，对圆弧宜用参数方程。

2．设L是曲线x?t?1,y?t2?1上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算 I?解： I?

3．计算?xdy?ydx，L为圆周x2?y2?2x沿逆时针方向。

?L2ydx?(2?x)dy

?10[2(t?1)?(1?t)?2t]dt=

332?(2?2t)dt?3。

01??L解：设D:x2?y2?2x，由格林公式得

2cos??332232d?xdy?ydx?3rdr ?(3x?3y)dxdy??????0??D2L?31?9?12?2?cos?d??24?2cos4?d??24?????。

0?422224?? 4．计算

xx(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dy，其中L为上半圆周y?2ax?x2沿逆时?L针方向。

解：记L1为y?0上从x?2a到x?0的有向线段，D:0?y?由格林公式得

2ax?x2，

?L?L1(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy???2dy??a2，

D?所以 ?(e又

L1L(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy?0，

xsiny?2y)dx?(excosy?2)dy??a2。

5．证明曲线积分

?(1,1)(0,0)(x2?y)dx?(x?2sin2y)dy与路径无关，并计算积分值。

解：P?x?y，故曲线积分

2?Q?P?P?Q?1，??1，Q?x?2sin2y，?， ?x?x?y?y?(1,1)(0,0)(x2?y)dx?(x?2sin2y)dy与路径无关，

?(1,1)(0,0)(x2?y)dx?(x?2sin2y)dy

121111??xdx??(1?2siny)dy???0cos2ydy??sin2。 0033212 1

6．利用线积分计算星形线x?acos3t,y?asin3t所围成图形的面积。 解：A?1xdy?ydx ?L212???[acos3t?3asin2tcost?asin3t?3acos2t(?sint)]dt 20323a22?3a22?22?a。 ?cost?sintdt?(1?cos4t)dt???008216

7．计算曲线积分I??L?xdy?ydx，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周（R?1），224x?y?取逆时针方向。

解：取L1:4x2?y2?1，沿逆时针方向。记D为L与L1所为环域，

y?Py2?4x2 P??，， ??y(4x2?y2)24x2?y2x?Qy2?4x2 Q?，， ?22222?x(4x?y)4x?y由格林公式得

?Q?P?xdy?ydx?(?)dxdy?0， ?22???x?y?L?L14x?yD?xdy?ydx??xdy?ydx??。 I??224x?y?L1L18、验证 解：

?y2?yexdx?2xy?exdy在xoy面上是某函数u?x,y?的全微分，求出u?x,y?

????Q?P??2y?ex，u?x,y??xy2?yex， (本题解答请自行完善) ?x?y 2