第2课时 等差数列的性质及其应用
双基达标
限时20分钟
( )．
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于 A．4
B．5
C．6
D．7
解析 由a2＋a8＝2a5＝12得：a5＝6，故选C. 答案 C
2．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是
( )．
A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列
解析 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d， ∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列． 答案 C
1
3．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为
2A．4
B．6
C．8
D．10
( )．
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
1111
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
2222答案 C
4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________. 解析 ∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35. ∵a2＋a4＋a6＝3a4＝99.∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2. ∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1. 答案 1
5．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________． 解析 设an＝－24＋(n－1)d，
??a9＝－24＋8d≤0
由?
?a10＝－24＋9d>0?
8
解得： 3 ?8?答案 ?，3? ?3? 6．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列． 解 显然a－4 (1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则 (a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)， ∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14. (2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则 (a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)， ∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11. (3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则 (26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)， ∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14. 综合提高 限时25分钟 ( )． 7．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为 A.3 B．±3 C．－3 3 D．－3 解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π， 4π∴a7＝. 3 8π2π ∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－3. 33答案 D 8．(2011·本溪高二检测)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为 ( )． 3 A. 4 3 B．－ 4 6C．－ 7 D．－1 解析 设插入的四个数为x，y，z，r，则新的数列为a1，x，a2，y，a3，z，a4，r，a5，共九项，∴d＝答案 B 9．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则 a5－a12－8 9－1 ＝3＝－. 84 c2＝________. 解析 因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19， 又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19. 答案 19 122 10．已知方程(x－2x＋m)(x－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n| 4＝________. 1111 解析 由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d. 44441?11?则＋?＋3d?＝2，∴d＝， 4?42?1357∴这4个根依次为，，，， 4444 1773515157∴n＝×＝，m＝×＝或n＝，m＝， 4416441616161∴|m－n|＝. 21答案 2 11．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？ 解 法一 由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组： ?a1＋10d＝－26，????a1＋50d＝54， 解得? ?a1＝－46，???d＝2. ∴a14＝－46＋13×2＝－20. ∴an＝－46＋(n－1)·2＝2n－48. 令an≥0，即2n－48≥0?n≥24. ∴从第25项开始，各项为正数． 法二 在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d， ∴a51＝a11＋40d， 1 ∴d＝(54＋26)＝2. 40 ∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20. ∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)， ∴an＝2n－48.显然当n≥25时，an>0. 即从第25项开始各项为正数．