圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．
(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．
答案精析
知识梳理
1．(1)(x－a)＋(y－b)＝r (2)x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0) 2．(1)在圆外 (2)在圆内 (3)在圆上 3．> ＝ < 8.
2
2
2
2
2
2
2
x2－x1
2
＋y2－y1
2
＋z2－z1
2
题型探究
例1 解 (1)由题意知，线段AB的垂直平分线方程为 3x＋2y－15＝0，
??3x＋2y－15＝0，∴由?
??3x＋10y＋9＝0，??x＝7，解得?
??y＝－3，
2
∴圆心C(7，－3)，半径为r＝|AC|＝65. ∴所求圆的方程为(x－7)＋(y＋3)＝65.
2
(2)方法一 设圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r， 则圆心坐标为(a，b)，半径为r＝10， |a－b|
圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为d＝.
2由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得
222
d2＋(
即
4222
)＝r， 2
2
a－b2
2
＋8＝10，
∴(a－b)＝4. 又∵b＝2a，
∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4， ∴所求圆的方程为(x－2)＋(y－4)＝10 或(x＋2)＋(y＋4)＝10.
方法二 设圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝10， ∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上， ∴b＝2a.
由圆被直线x－y＝0截得的弦长为42， 将y＝x代入(x－a)＋(y－b)＝10， 得2x－2(a＋b)x＋a＋b－10＝0. 设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)，
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
B(x2，y2)，
则|AB|＝
x1－x2
2
2
＋y1－y2
2
＝2[x1＋x2
2
－4x1x2]＝42，
∴(x1＋x2)－4x1x2＝16. ∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝
2
2
2
a2＋b2－10
2
，
∴(a＋b)－2(a＋b－10)＝16， 即a－b＝±2.
??a＝2，
又∵b＝2a，∴?
?b＝4?
2
??a＝－2，
或?
?b＝－4.?
2
∴所求圆的方程为(x－2)＋(y－4)＝10 或(x＋2)＋(y＋4)＝10.
跟踪训练1 (x－1)＋(y－2)＝2
2
2
2
2
例2 解 (1)圆心C(1,2)，半径为r＝2. ①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0.
|k－2＋1－3k|3
由题意知，＝2，解得k＝.
4k2＋13
∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
4故过M点的圆的切线方程为x＝3 或3x－4y－5＝0.
|a－2＋4|4
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
3a2＋1(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为
|a＋2|
a2＋1
，
∴?
3?|a＋2|?2?23?2
＋＝4，解得a＝－. ???2
4?a＋1??2?
跟踪训练2 解
(1)如图所示，|AB|＝43，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB， ∴|AD|＝23，|AC|＝4. 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由点C到直线AB的距离为 |－2k－6＋5|3
＝2，得k＝，
4k2＋1此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0， ∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)， 则CD⊥PD，所以kCD·kPD＝－1，
即
y－6y－5
·＝－1， x＋2x2
2
化简得所求轨迹方程为x＋y＋2x－11y＋30＝0.
例3 解 圆Q1：x＋y－2x－6y－1＝0可化为(x－1)＋(y－3)＝11， 圆Q2化为(x－5)＋(y－6)＝61－m， 两圆圆心距离 |Q1Q2|＝
5－1
22
2
2
2
2
2
＋6－3
2
＝5.
(1)当两圆外切时， |Q1Q2|＝11＋61－m， 即5＝11＋61－m. 解得m＝25＋1011. (2)当两圆内切时， |Q1Q2|＝|11－61－m|， 因为11<5，
所以|Q1Q2|＝61－m－11， 所以5＝61－m－11， 所以m＝25－1011.
(3)当m＝45时，由两圆方程相减，得公共弦方程为
x2＋y2－2x－6y－1－x2－y2＋10x＋12y－m＝0，
即4x＋3y－23＝0. 圆心Q1到公共弦的距离为
d＝
|4×1＋3×3－23|
＝2， 22
4＋3
2
2
r21－d
所以公共弦长为2＝2
11
2
－2＝27.
2
2
2
2
跟踪训练3 解 将两圆的方程C1：x＋y＝4，C2：x＋y－2x－4y＋4＝0相减，得x＋2y－4＝0，将x＝4－2y代入C1：x＋y＝4，得5y－16y＋12＝0， 6
解得y1＝2，y2＝，
58
得x1＝0，x2＝，
5
86
所以圆与圆的交点坐标分别为(0,2)，(，)．
55设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，
2
2
2
2
2
2
依题意，
?6?8－a＋－b5得?5
|a＋2b|??5＝r， ③
2
0－a2
＋2－b2
＝r， ①＝r， ②
2
2
2
152
由①②消去r，得b＝2a，代入③式，得r＝5a，代入①式?a＝，b＝1，r＝，
221252
所以圆的方程为(x－)＋(y－1)＝.
24
例4 D [首先明确曲线y＝1＋4－x表示半圆，
2
53
由数形结合可得＜k≤.]
124跟踪训练4 当堂训练
1．D 2.B 3.D 4.C
5．解 (1)因为圆x＋y－6x＋5＝0可化为(x－3)＋y＝4，所以圆心坐标为(3,0)． 因为直线x－my＋3＝0与圆相切，所以解得m＝±22.
(2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝
由2
4－
2
2
2
2
2
3 －3
|3＋3|1＋m2
＝2，
|3＋3|1＋m2
.
|3＋3|1＋m2
2
2
＝
210
， 5
2
得2＋2m＝20m－160，即m＝9. 故m＝±3.