(x?3)n例（1）（3） (90.5) 求级数?的收敛域. 2nn?1?tn解 令t?x?3，级数?2,由

n?1n?an?1n2lim?lim?1知Rt?1,因此当n??an??(n?1)2n?1?x?3?1即2?x?4时原级数收敛.

?(?1)n当x?2时,原级数为?收敛, 2nn?1?1当x?4时,原级数为?2收敛.

n?1n所以原级数收敛域为[2,4].

(x?2)2n（2）(92.3) 级数?的收敛域为(0,4). nn?4n?1?

tn答 令t?(x?2) 对于?, nn?4n?12?an?1n?4n1由lim, ?lim?n??an??(n?1)?4n?14n于是收敛半径Rt?4,则0?(x?2)?4?0?x?4内收敛.

当x?0和x?4时,原级数都为为(0,4).

21发散,所以收敛域?n?1n?(2x?1)n例4求幂级数?的收敛半径与收敛域.

nn?1? 1

（中心不在原点的级数求收敛域时先作变量替换）

tn解 令t?2x?1,幂级数变形为?,

n?1n1anRt?limn?limn?1?lim?1?Rt?1n??an??n??n?11n?1n1?Rx?

211t?1?x????1?x?0，

22?1当x??1时原级数为?(?1)n收敛，

nn?1?11当x?0时，?发散，故 原级数收敛半径R?，

2n?1n收敛域为[?1,0).

?注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.

§7.5 泰勒公式与泰勒级数

教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor

级数与Taylor展式的关系.

重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的

推导方法.

难点: 理解泰勒公式的推导方法.

教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：

引例：近似表达函数的多项式的特性

无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数

引例：当x很小时，e?1?x，

2

x设f(x)?ex，P1(x)?1?x，则

f(0)?P1(0)?1,f?(0)?P1?(0)?1.

x2x2x用P2(x)?1?x＋表示 e?1?x＋在x?0处

22值更为接近.

猜想将P1(x)换成Pn(x)则在x?x0处两函数有直到n阶相同的导数，其在x?x0处接近的程度更高，即

x2e?1?x??2xxn?.为用多项式表示更复杂的函n!数：

设有函数f(x)在x?x0的某一邻域内有直到n?1阶的导数，

令f(x)?Pn(x)?a0?a1(x?x0)?若 f(k)(x0)?Pn(k)(x0),k?0,1,?an(x?x0)n，

再令 f(x)?Dn?1(I),x0?I?(a,b),

,n.

（f(0)(x0)?Pn(0)(x0)表示k?0的函数值相等）则 ak?1(k)f(x0) （k?0,1,,n），于是k!f(x)?Pn(x)?a0?a1(x?x0)??an(x?x0)n.

证明：因Pn(x)?a0?a1(x?x0)??an(x?x0)n,

Pn?(x)?a1?(x?x0)O(1),

Pn??(x)?2!a2?(x?x0)O(1)…… ,

Pn(k)(x)?k!ak?(x?x0)O(1) …… ,

Pn(n)(x)?n!an,

那么 f(k)(x0)?Pn(k)(x0)?k!ak,

1(k)f(x0), k! k?0,1,,n.

一、泰勒（Taylor）公式

所以 ak? 在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式

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