[应用]数列、数学归纳法及数列极限的复习.docx 下载本文

数列、数学归纳法及数列极限的复习

一、基本概念

1数列:按一 ?定次序排列的一列数?按项数是否有穷可分为有穷数列和无穷数列?按相邻两项 的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数数列和摆动数列.

数列可以看成一类特殊的函数,其定义域为正桀数集或其了集.数列{色}的第〃项色与n的 关系式①=f(n)叫做数列{% }的通项公式.

注意:不是每个数列都有通项公式!根据数列的前几项不能确定这个数列,但是可以写出它 的一个或几个通项公式!

冇些数列冇单调性、周期性、最值.

2数列的递推公式:给出数列{?}的初始项(第一项或前儿项),再给出相邻两项或儿项的

关系,这样的关系式称为数列{色}的递推公式. 如:= aQ ,严,$严1卫2=1等

W〃+] = d” + d [an+} = qan [an+2 = an+l + a” 3等差数列

若afl+1 -

= d (d为常数),则数列{色}是等差数列.

公差为d的等差数列{色}的通项公式为化=⑷+ 5 - l)d ? (该公式口J整理为atl =dn + (a】- d))

设血}是等差数列,若p + q = s +1 = 2k(p,q、s、t、k都是正整数),

则仏 + n = cip + o厂 2a *.注意:am +an = altl+n 一般不成立!

设仏}是等差数列,则仏}的前n项和Sn的公式为S “ =\= na{ +\(Z)d?

a2 2

(该公式可整理为S” = 2/? +(% — 0加).

若等差数列仏}的公差d>0,则仏}是递增数列.若d =0,则仏}是常数数列.

若dvO,则仏}是递减数列.

若成等差数列,则A = 凹.任意两个实数都有唯一的等差中项.

2

判断&”}是等差数列的方法:(1)利用定义-色=d (〃为常数).

⑵根据a* -%+i =碍+i 一% ?⑶根据ctn = pn + q . (4)根据Sn = an + bn.

2注意:证明数列&”}是等差数列时通常用定义!

4等比数列

若沁 =g (q为常数),则数列血}是等比数列.

公比为q的等比数列{an}的通项公式为j = atnq~.

n,n设{色}是等比数列,若p + q = s + t = 2k(p,q,s,t,k都是正整数),则=apaq = ci;.

加 i(g = l)

设仏}是等比数列,则仏}的前兄项和S”的公式为=\\a]-a q ⑷(1 —/)

?

—.~~— = 1 - q -------- (9 工 1) 1 - q

等比数列仏}的公比gzO. 若a,G,b成等比数列,则G二土懈.

两个实数不一定有等比中项,若有等比中项,则有两个!

判断仏}是等比数列的方法:⑴利用定义^ = q (q为常数).⑵根据也也=也?

an 心+] an

⑶根据仇=bq ? (4)根据S” = bq- b ? 注意:证明数列仏}是等比数列时通常用定义!

nn5数学归纳法

对于关于正整数兀的很多命题可以用数学归纳法解决.它是用有限的步骤完成无限的递推! 第一步,证明n = n0时命题成立(这是递推的基础).第二步,假设〃 =k{k e N,k > ?)命 题成立.由此证明n = k + l时命题也成立(这是递推的依据).根据这两步,就可以无限递推 下去,因而对于任意的正整数n>n(v命题都成立.数学归纳法的第二步必须用假设的结论!

6数列的极限

儿个基本数列的极限:

①lim丄=0(加w M).②当卜<1时,limxn =0.③limC = C(C为常数).

7?—>00 m

7?->OO

\

运算法则:若hman=A.hmhn = B,则

n—>oc

xo

(1)

hm(an ±bn) = lima” ±limbn = A±B. n—>00

\nT8

(2) lim(d〃 ?/\\) = lim% ? lim乞=A B. 川一>00

a

\—>00 \

4

(3) = = -(4) lim(C-^) = C-lim^ =CA (C 为常数).

/?—>oc 优 lim优 B n->co n—

lim an

数列极限的四则运算法则只适用于冇限项?如果是无限项,应该先化简.

设数列{%}为等比数列,首项为%,公比为g,{%}的前斤项和为S”.如杲0 <|g|

那么lim Sn =lim(6Z, + a2 + …+ an) = ax + +??? + % n-?oo

+ …=

川一>00

d] l — q

公比为q的无穷等比数列仏}的各项和存在的充要条件是0 V同V 1?

二、常用结论

1若数列仏}、{仇}是等差数列,则{“”}、仏+%」、{pan + qbn }也是等差数列.

{C5}&〉(),CH1)是等比数列.

2若等差数列&”}的前\项和为S”.则5,, S次-Sk, - S次也成等差数列.

3设等差数列{?}的首项为①,公差为d,其前项和为S”.

若d〉0,则S”有最小值.若d<0,则S”有最大值.

4数列仏}是等比数列,则{““}、{d/kwNj、{anan+}}也是等比数列.

若数列血}是等比数列,且a? >0,则{logc^}(c>0,c^l)是等差数列.