3.7 设三维晶格的光学振动在q = 0附近的长波极限有

求证：

解：

依据

现在

带入上边结果有

3.8 有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T 2。

解：在德拜近似下

式中出现 2N ，是由于二维晶格中每个原子的自由度为2，总自由度为2N 。则

则

3.11 一维复式格子 中

求

解：（1）

（2）