亲爱的交大附中新高一的同学们：

祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。

一、数与式的运算

一）、必会的乘法公式

【公式1】(a?b?c)?a?b?c?2ab?2bc?2ca 证明：?(a?b?c)?[(a?b)?c]?(a?b)?2(a?b)c?c

22222222?a2?2ab?b2?2ac?2bc?c2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca

?等式成立

2【例1】计算：(x?2x?) 解：原式=[x?(?2x)?]

2132132111?(x2)2?(?2x)2?()2?2x2(?2)x?2x2??2??(?2x)333

8221?x4?22x3?x2?x?339

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方和公式)

证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b 说明:请同学用文字语言表述公式2.

【例2】计算： （2a+b）（4a-2ab+b）=8 a+b 【公式3】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方差公式)

2233223222233322332233

1．计算

（1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）=

（2）（2x-3）（4x2+6xy+9）=

1?111?1（3）?m??(m2?m?)=

3?469?2（4）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）=

2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m3-n3=

1（2）27m3-n3=

83

（3）x-125= （4） m6-n6=

【公式4】(a?b)?a?b?3ab?3ab 【公式5】(a?b)?a?3ab?3ab?b 【例3】计算：

（1）(4?m)(16?4m?m)

4223322333322（2）(m?2151111n)(m2?mn?n2) 2251042222（3）(a?2)(a?2)(a?4a?16) （4）(x?2xy?y)(x?xy?y) 解：（1）原式=4?m?64?m

（2）原式=(m)?(n)?2423331531231313m?n 125822336（3）原式=(a?4)(a?4a?4)?(a)?4?a?64 （4）原式=(x?y)(x?xy?y)?[(x?y)(x?xy?y)]

2222222?(x3?y3)2?x6?2x3y3?y6

说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式

的结构．

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、

4、…、10的立方数，是非常有好处的．

琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

1的值． 3x12解：x?3x?1?0 ?x?0 ?x??3

x1211122原式=(x?)(x?1?2)?(x?)[(x?)?3]?3(3?3)?18

xxxx说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦

【例4】已知x?3x?1?0，求x?23【例5】已知a?b?c?0，求

111111a(?)?b(?)?c(?)的值． bccaab解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b

?原式=a?

b?ca?ca?b ?b??c?bcacab

a(?a)b(?b)c(?c)a3?b3?c3????? ①

bcacababc

?a3?b3?(a?b)[(a?b)2?3ab]??c(c2?3ab)??c3?3abc

?a3?b3?c3?3abc ②，把②代入①得原式=?3abc??3 abc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．

二）、根式

式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下：

2(1) (a)?a(a?0)

(2) (4)

a2?|a|

bb?(a?0,b?0) aa(3)

ab?a?b(a?0,b?0)

【例6】化简下列各式： (1)

(3?2)2?(3?1)2 (2)

(1?x)2?(2?x)2 (x?1)

解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1

?(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)*(2) 原式=|x?1|?|x?2|??

(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2) ?说明：请注意性质a2?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)

38

(2)

32?3 (3)

11? ab(4) 2x?x3?8x 2解：(1)

38=

33?26?? 88?243(2?3)(2?3)(2?3)?3(2?3)22?3?6?33 (2) 原式=