第一讲 三角函数的图像与性质?选择、填空题型?

考 点 考 情 三角函数的图像 1.对三角函数图像的考查主要是平移、伸缩变换，或由图三角函数的性质 像确定函数的解析式，如2013年四川T5，山东T5等. 求函数的解析式 2.三角函数的性质是考查的重点，可以单独命题，也可与三角变换交汇，综合考查三角函数的单调性、周期性、最值求三角函数的值域或最值 等．另外由性质确定函数的解析式也是高考考查的重点，如2013年江西T11，新课标全国卷ⅠT15等.

1．(2013·山东高考)将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移π

8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的

一个可能取值为( )

A.3π

4 B.π4 C．0

D．－π4

解析：选B 把函数y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移π

8个单位后，得到的图像的解析式是y＝sin??2x＋π4＋φ??，该函数是偶函数的充要条件是ππ4＋φ＝kπ＋2，k∈Z，根据选项检验可知

φ的一个可能取值为π

4

. 2.(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)??ω＞0，－π2 ＜

φ＜π

2??的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )

A．2，－π

3 B．2，－π

6

C．4，－π

6

D．4，π

3

解析：选A 因为5π12－??－π3??＝2πω·34，所以ω＝2.又因为2×5π12＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，且－πππ2<φ<2，所以φ＝－3. 3．(2013·江西高考)函数y＝sin 2x＋23sin2x的最小正周期T为________．

解析：y＝sin 2x＋2 3sin2x＝sin 2x－3cos 2x＋3＝2sin??2x－π3??＋3，所以该函数的最小正周期为T＝2π

2

＝π.

答案：π

4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________. 解析：f(x)＝sin x－2cos x＝5 ?

5?5sin x－255cos x?255?

＝5sin (x－φ)，其中sin φ＝5，cos φ＝5，当x－φ＝

2kπ＋π2(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋π2＋φ(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－25

5

.

答案：－255

1．六组诱导公式

公式一 sin(2kπ＋α)＝sin α(k∈Z)，cos(2kπ＋α)＝cos α(k∈Z)，tan(2kπ＋α)＝tan α(k∈Z) 公式二 sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 公式五 sin?π?2－α??＝cos α，cos?π?2－α??＝sin α 公式六 sin?π?2＋α??＝cos α，cos?π?2＋α??＝－sin α

2．三种函数的图像和性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 在??－π2＋2kπ ， π2＋2kπ??(k∈在[－π＋2kπ，2k在?ππ](k∈?－2＋kπ ， Z)上单调 单调性 Z)上单调递增；在[2kπ，递增；在?π?2＋2kπ， π＋2kπ](k∈Z)上单调递 π2＋kπ??(k∈Z)上单调 3π减 递增 2＋2kπ??(k∈Z)上单调递减 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； 对称中心： 对称性 对称轴：x＝ππ对称中心：?kπ2＋kπ(k∈Z) ??2＋kπ，0??(k∈Z)； ?2，0?? 对称轴：x＝kπ(k∈Z) (k∈Z)

3.三角函数的两种常见图像变换

横坐标变为原来的1倍(1)y＝sin x向左――?φ>0?或向右?φ<0?

?纵坐标变为原来的A倍平移――|φ―|个单位――→y＝sin(x＋φ)???????纵坐标不变? y＝sin(ωx＋φ)―――横坐标不变――――――→ y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．

横坐标变为原来的1?倍(2)y＝sin x???????纵坐标不变? y＝sin ωx ???????向左???0?或向右???0?? y＝sin(ωx＋φ)纵坐标变为原来的A倍平移?――――横坐标不变

――――――→ y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0). ?个单位

热点一 三角函数的概念、基本关系式和诱导公式

[例1] (1)已知角α的终边上一点的坐标为??sin5π6，cos5π

6??，则角α的最小正值为( ) A.5π

6 B.2π3

C.5π3

D.11π6

(2)若3cos?π?2－θ??＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋1

2

sin 2θ的值是________． [自主解答] (1)∵sin5π5π

6>0，cos6<0，

∴α为第四象限角．

cos5π－

3又tan α＝6＝2

＝－3，

sin5π162∴α的最小正值为5π

3

. (2)∵3cos?π?2－θ?

?＋cos(π＋θ)＝0，

∴3sin θ－cos θ＝0，从而tan θ＝1

3

.

2

∴cos2θ＋12sin 2θ＝cosθ＋sin θcos θ1＋tan θ1＋143 3 6

sin2θ＋cos2θ＝1＋tan2θ

＝1＋?1?3?＝＝?2105. 9[答案] (1)C (2)6

5

——————————————————(规律·总结)——————————————

应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．

(2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．

1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－4

5

，则m的值为________．

解析：由点P(－8m，－6sin 30°)在角α的终边上且cos α＝－4

5

，知角α的终边在第三象限，则m>0，又cos α

＝

－8m

?－8m?2＋9＝－45，所以m＝12.

答案：1

2

cos?π?2＋α?2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则

?sin?－π－α?cos?11π?2－α??sin?9π?2＋α??

的值为________．

解析：原式＝－sin α·sin αy－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝x＝－34，所以原式＝－3

4. 答案：－3

4

热点二 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与解析式

[例2] (1)(2013·济南模拟)已知函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M，ω，φ是常数，M>0，ω>0,0≤φ≤π)的部分图像如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(－1)＝

( )

A．－2 B．－1 C．2

D．－1或2

(2)(2013·海口模拟)将函数y＝sin ωx(ω>0)的图像向左平移π

6个单位，平

移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式为( )

A．y＝sin??x＋π6?? B．y＝sin??x－π6?? C．y＝sin??2x＋π3?? D．y＝sin??

2x－π3?? [自主解答] (1)由图可知M＝2.因为A，B两点分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，设A(x1,2)，B(x2，－2)，因为|AB|＝5，所以?x2－x1?2＋?－2－2?2＝5，解得|x2－x1|＝3.因为A，B两点的横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即T2＝3，T＝6，所以2πω＝6，解得ω＝π3.因为f(0)＝1，所以2sin φ＝1，解得sin φ＝1

2.因为0≤φ≤π，

所以φ＝π5πππ5π6或φ＝6.结合图像，经检验，φ＝6不合题意，舍去，故φ＝5π

6.所以f(x)＝2sin??3x＋6??.故f(－1)＝2sin?π5π?－3＋6??＝2sinπ

2

＝2. (2)函数y＝sin ωx(ω>0)的图像向左平移π

6个单位后对应的函数解析式为y＝sin ω??x＋π6??＝sin??ωx＋ωπ6??，又因为f?7π?12?7πωωπ3π?＝－1，由图可得12＋6＝2

，解得ω＝2，所以平移后的图像对应的函数解析式为y＝sin??2x＋π3??. [答案] (1)C (2)C

——————————————————规律·总结——————————————

根据三角函数图像确定解析式应注意的问题

在利用图像求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、ω，

然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．

3.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图像如图所示，f?π?2??＝－2

3，则f??－π

6??＝( ) A．－23

B．－1

2

C.23

D.12

解析：选A 由图知，T＝2?11π?12－7π12??＝2π3，所以f??－π6??＝f??－π6＋2π3??＝f?π?2??＝－2

3. 4.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图像如图

所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )

A．－3

62

B．－

2

C.3

D．－3

解析：选D 由函数是奇函数，且0<φ<π可得φ＝ππ

2.由图像可得函数的最小正周期为4，ω＝2.由△EFG的高

为3，可得A＝3.所以f(x)＝3cos?ππ?2x＋2??，所以f(1)＝3cos π＝－3.

热点三 三角函数的奇偶性与对称性

[例3] (1)定义行列式运算??a1 a2?＝aa－aa.将函数f(x)＝?3 sin x1423??a??? 1 cos x?

?

的图像向左平移n(n>0)个单位，

所3 a4?得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为( )

A.π

6

B.π3