课时作业52 双曲线 [基础达标] 一、选择题 x2y21.[2019·山西八校联考]已知双曲线a2－b2＝1(a>0,b>0)的焦距为45,渐近线方程为2x±y＝0,则双曲线的方程为( ) x2y2x2y2A.4－16＝1 B.16－4＝1 x2y2x2y2C.16－64＝1 D.64－16＝1 x2y2【解析】:解法一 易知双曲线a2－b2(a>0,b>0)的焦点在x轴b上,所以由渐近线方程为2x±y＝0,得a＝2,因为双曲线的焦距为45,所以c＝25,结合c2＝a2＋b2,可得a＝2,b＝4,所以双曲线的x2y2方程为4－16＝1,故选A. 解法二 易知双曲线的焦点在x轴上,所以由渐近线方程为222yxy2x±y＝0,可设双曲线的方程为x2－4＝λ(λ>0),即λ－4λ＝1,因为双曲线的焦距为45,所以c＝25,所以λ＋4λ＝20,λ＝4,所以双曲线x2y2的方程为4－16＝1,故选A. 【参考答案】:A x2y22.[2019·山东潍坊模拟]已知双曲线a2－b2＝1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为3,且离心率为2,则该双曲线的实轴的长为( ) A.1 B.3 C.2 D.23 【解析】:由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的bcc22距离为22＝b＝3,即c－a＝3,又e＝a＝2,所以a＝1,该双a＋b曲线的实轴的长为2a＝2. 【参考答案】:C x2y23.[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0,b>0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( ) A.2 B.2 32C.2 D.22 c【解析】:由题意,得e＝a＝2,c2＝a2＋b2,得a2＝b2.又因为a>0,b>0,所以a＝b,渐近线方程为x±y＝0,点(4,0)到渐近线的距离4为＝22.故选D. 2【参考答案】:D x2y24.[2019·江西五校联考]已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0,b>0)的离心率为2,左,右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C上,若△AF1F2的周长为10a,则△AF1F2的面积为( ) A.215a2 B.15a2 C.30a2 D.15a2 【解析】:由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上,由ce＝a＝2,得c＝2a,∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a,又△AF1F2的周长为10a,∴|AF1|＋|AF2|＝6a,又∵|AF1|－|AF2|＝2a,∴|AF1|＝4a,|AF2|＝2a,在△AF1F2中,|F1F2|＝4a, |AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2?4a?2＋?2a?2－?4a?2∴cos∠F1AF2＝＝2|AF1|·|AF2|2×4a×2a1＝4. 151∴sin∠F1AF2＝4,∴S△AF1F2＝2|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝1152×4a×2a×＝15a.故选B. 25【参考答案】:B x2y25.[2019·南昌调研]已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0,b>0)的左、b右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上第二象限内一点,若直线y＝ax恰为线段PF2的垂直平分线,则双曲线C的离心率为( ) A.2 B.3 C.5 D.6 a【解析】:由题,结合图知,直线PF2的方程为y＝－b(x－c),设2?aab?b直线PF2与直线y＝ax的交点为N,易知N?c，c?,又线段PF2的???2a2－c22ab??,因为点P在双曲线C上,所以中点为N,故P?，cc???2a2－c2?24a2b2c22a2c2－c2b2＝1,即5a＝c,所以e＝a＝5. 【参考答案】:C 二、填空题 x2y2y2x26.已知双曲线m－3m＝1的一个焦点是(0,2),椭圆n－m＝1的焦距等于4,则n＝________. 【解析】:因为双曲线的焦点是(0,2),所以焦点在y轴上,所以y2x2双曲线的方程为－＝1,即a2＝－3m,b2＝－m,所以c2＝－3m－my22－3m－m＝－4m＝4,解得m＝－1.所以椭圆方程为n＋x＝1,且n>0,椭圆的焦距为4,所以c2＝n－1＝4或1－n＝4,解得n＝5或－3(舍去). 【参考答案】:5 x2y27.[2019·太原高三模拟]设P为双曲线2－2＝1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|＝2|PF2|,则cos∠PF2F1＝________.