平面向量基本定理常用题型归纳
何树衡 刘建一
平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数?1,?2使得a=?1e1??2e2
平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型：
一、基本题型随处可见
1.1直接利用?1,?2唯一性求解
例1：在直角坐标平面上，已知O是原点，OA?(2,?4),OB?(?2,?2)，若
xOA?yOB?3AB，求实数x,y的值
解：xOA?yOB?x(2,?4)?y(?2,?2)?(2x?2y，?4x?2y)
AB?OB?OA?(?4,2) ?2x?2y??12 ???4x?2y?6∴??x??3
?y?3即x为－3，y为3.
1.2构建三角形，利用正余弦定理求解
例2：如图，平面内有三个向量OA,OB,OC，其中OA，OA与OB夹角为120o与OC的夹角为30o，OA?OB?1,OC?23，若OC??OA??OB(?,??R),则?= ，
?= .
解：过C作CD∥OB交OA的延长线于D，在Rt△ODC中，
OCsin60?
?ODsin90?B ?CDsin30?∴DC?2,OD?4,即?=4，?=2
C 30o O 1 A D 二、共线问题常考常新
2.1感受平面内三点共线的结论在解题中简明快捷。
常用结论：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得OP关于基底{OA,OB}的分析式为OP?(1?t)OA?tOB
A 反之，若OP?(1?t)OA?tOB则A，P，B三点共线
P （特别地令t=
例3：在△ABC中，AN?实数m的值为
解：∵AN?111,OP?OA?OB称为向量中点公式） 222B D 12NC，P是BN上的一点，若AP?mAB?AC，则
113A N P B C 11NC，∴AN?AC
43∵B,P,N三点共线，∴ AP?mAB?(1?m)AN 又∵AP?mAB?83AN，∴m=
11112.2感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力
11BC，OD与BA相交于E，求证：BE=BA 341证明：如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′=BA，只需证E，E′重合即可
411设OA?a，OB?b，BD?a，OD?b?a
33111313OE'=OB?BE'?b?BA?b?(a?b)?(a?3b)?(b?a)?OD
444434例4：在平行四边形OACB中，BD=∴O,E′,D三点共线 ∴E,E′重合，∴BE=
1BA 4O E D B
A C 三、区域问题渐成热点
由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题.
定理：设O,A,B为平面内不共线的三个定点，动点C满足
OC?xOA?yOB(x,y?R)，记直线OA，OB，AB分别为lOA,lOB,lAB，平面被分成如图
7个部分(Ⅰ—Ⅶ)，得出结论表(1)，表(2)
2
表(1) 动点C所在区域(不含边界) Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ
表(2)
充要条件 动点C在线上 C在线段AB上 C在线段AB的延长线上 C在线段BA的延长线上 C在线段OA上 C在线段OA的延长线上 C在线段AO的延长线上 C在线段OB上 C在线段OB的延长线上 C在线段BO的延长线上上 Ⅳ B Ⅳ Ⅰ A Ⅶ 充要条件 O Ⅵ x,y满足条件 x>0，y>0且x+y<1 x>0，y>0且x+y>1 x>0，y<0且x+y>1 x>0，y>0且x+y>1或x<0,y>1 X<0,0
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