数学分析题库（1-22章）
五．证明题
1．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：
（1）对任何a?A,b?B有a?b；
（2）对任何??0，存在x?A,y?B，使得Y?x??. 证明：supA?infB. 2.设A，B是非空数集，记S?A?B，证明：
（1）supS?max?supA,supB?； （2）infS?min?infA,infB? 3. 按??N定义证明
5n2?n?25lim? n??3n2?234.如何用ε-N方法给出liman?a的正面陈述？并验证|n2|和|(?1)n|是发散数列.
n??5.用???方法验证：
x2?x?2lim??3. x?1x(x2?3x?2)6． 用??M方法验证：
x???limxx2?1?x??1. 27 . 设lim?(x)?a，在x0某邻域U?(x0;?1)内?(x)?a，又limf(t)?A.证明
x?x0t?ax?x0limf(?(x))?A.
8.设f(x)在点x0的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列?xn?，
（1）xn?U?(x0)，xn?x0，
（2）0?xn?1?x0?xn?x0，都有limf(xn)?A，
n??则limf(x)?A.
x?x09. 证明函数
?x3,x为有理数， f(x)??0,x为无理数?在x0?0处连续，但是在x0?0处不连续.
10.设f(x)在（0，1）内有定义，且函数exf(x)与e?f(x)在（0，1）内是递增的，试证f(x)在（0，1）内连续.
11. 试证函数y?sinx2，在[0,??)上是不一致连续的.
12. 设函数f(x)在（a,b）内连续，且limf(x)=limf(x)=0，证明f(x)在（a,b）内有最
x?a?x?b?大值或最小值.
13. 证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数f(x)是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.
14 . 证明：若f(x)在点a处可导，f（x）在点a处可导.
15. 设函数f(x)在(a,b)内可导，在[a,b]上连续，且导函数f?(x)严格递增，若
f(a)?f(b)证明，对一切x?(a,b)均有
f(x) 16. 设函数f(x)在[a,??]内可导，并且f(a)<0，试证：若当x?(a,??)时，有 f?(x)>c>0则存在唯一的??(a,??)使得f(?)?0，又若把条件f?(x)>c减弱为f/(x)>0(a 17. 证明不等式 x2e?1?x?2x(x?0) 18.设f为(??,??)上的连续函数，对所有x,f(x)?0，且limf(x)?limf(x)?0， x???x???证明f(x)必能取到最大值. 19. 若函数f(x)在[0,1]上二阶可导, 且f(0)?0，f(1)?1，f?(0)?f?(1)?0，则存在 c?(0,1)使得|f??(c)|?2. 20. 应用函数的单调性证明 2x?sinx?x,x?(0,); ?2?1?m?xsin,x?021. 设函数f(x)?? （m为实数）， x?x?0?0,试问： （1）m等于何值时，f在x?0连续； （2）m等于何值时，f在x?0可导； （3）m等于何值时，f?在x?0连续； 22. 设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件f(x)?a，f??(x)?b， 其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内的任一点，证明 f?(c)?2a?b 223. 设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在??(a,b)使得 a?b(b?a)2f(b)?2f()?f(a)?f??(?) 2424. 若f(x)在点x0的某个领域上有(n?1)阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式. 25. 用泰勒公式证明:设函数f(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内二阶可导,则存在??(a,b),使得 a?b(b?a)2''f(b)?2f()?f(a)?f(?). 2426. 设函数f(x)在?0,2?上二阶可导,且在?0,2?上f(x)?1,f''(x)?1.证明在?0,2?上成立 f''(x)?2. 27. 设f是开区间I上的凸函数,则对任何??,???I,f在?,?上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在L>0,对任何x,x???,??,成立 '''f(x')?f(x)''?Lx'?x''. 28. 设f(x)在 [a,??]??(a?0)上满足Lipschitz条件：|f(x)?f(y)|?k|x?y|, 证明 f(x)在[a,??]上一致连续. x 29. 试证明方程x?xnn?11?????x?1在区间(,1)内有唯一实根。 230. 设函数f(x)在点a具有连续的二阶导数，试证明： lim31. 设f(x)在(a,h?0f(a?h)?f(a?h)?2f(a)''?f(a) 2hb)上可导，且 x?a?0limf(x)?limf(x)?A. x?b?0求证：存在??(a,32. 设f(x)在[a,b)，使f?(?)?0. b]上连续，在(a,b)内有n阶导数，且存在n?1个点 x1,x2,?,xn?1?(a,b)满足： (1)a?x1?x2???xn?1?b(2)求证：存在??(a,f(a)?f(x1)?f(x2)???f(xn?1)?f(b)b)，使f(n)(?)?0. 33. 设函数f在点x0存在左右导数，试证f在点x0连续. 34. 设函数f在[a,b]上可导，证明：存在??(a,b)，使得 2?[f(b)?f(a)]?(b2?a2)f?(?). 35．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： b?abb?a，其中0?a?b. ?ln?baa 36.证明:任何有限数集都没有聚点. 37.设 ??a,b??是一个严格开区间套,即满足 nna1?a2?L?an?bn?L?b2?b1, n??且lim?bn?an??0.证明:存在唯一的一点?,使得an???bn,n?1,2,L. 38.设?xn?为单调数列.证明:若?xn?存在聚点,则必是唯一的,且为?xn?的确界. 39.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,证明f(x)在[a,b]上一致连续. 40.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 证明f(x)在[a,b]上有界. 41.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,证明f(x)在[a,b]上有最大值. 42.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且单调增加, ?1xf(t)dt,x?(a,b],?F(x)??x?a?a ?x?a,?f(a),证明F(x)为[a,b]上的增函数. 43.函数f(x)在闭区间[0,1]上连续.证明 ??20f(sinx)dx??2f(cosx)dx. 0?44.若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,证明f(x)在[a,b]上可积. 45.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明 ?a?f(x)?b2dx?0. 46.设函数f(x)为(??,??)上以p为周期的连续周期函数.证明对任何实数a,恒有 ?若 2a?paf(x)dx??f(x)dx. 0p47.若函数f(x)在[0,??)上连续,且limf(x)?A,证明limx???1xf(t)dt?A. x???x?0上 可 积 , 证 明 48. b函 b数 f(x)2和 g(x)在 [a,b]??f(x)?adx???g(x)?dx?a??baf(x)g(x)dx. ?249.若函数f(x)在[?a,a]上可积,且为偶函数,证明50.若函数f(x)在[a,b]上可积,证明函数?(x)??a?af(x)dx?2?f(x)dx. 0a?xaf(t)dt,x?[a,b]在[a,b]上连续. 51.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)?f(b).若?为介于f(a)与f(b)之间的任何实数,则存在x0?[a,b],使得f(x0)??. 52. 若函数f(x)在[a,b]上连续,证明函数?(x)?导,且 ?xaf(t)dt,x?[a,b]在[a,b]上处处可 dx??(x)??f(t)dt?f(x),x?[a,b]. dxan??53.若数列?bn?有limbn??,则级数 ???bn?1?n?1?bn?发散. 54.设 ?un为正项级数,且存在常数q?(0,1),使得对一切n?1,成立 n?1un?1?q.证明级数un