宁波市2014年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷

数学试题

一、选择题（共6题，每题4分，共24分）

1、从1，2，3，4，5这五个数字任取两个数字，使其乘积为偶数的概率为（ ） 4731（A） （B）（C）（D） 51052

解： 总数=4+3+2+1=10，符合条件的为：231；233；234；235；431；433； 737435共7个（或只有133；135；335共3个例外），∴概率为或1－＝ 1010102、已知锐角△ABC角平分线AD与高线BE交于点M，△CDE是等边三角形，则

S△DEM∶S△ABM的值为（ ） （A）2∶2 （B）1∶2（C）1∶3（D）1∶4

C

∵∠C=600，∠BEC=900，∴∠EBC=300，又∠CDE=600，∴∠BED=300，

∴ED=BD=CD，∴AD即是∠BAC的平分线，又是BC上的中线， E D

∴AB=AC，∴△ABC为正三角形，∴AD与BE的交点为△的重心 A B ∴S△DEM∶S△ABM=1∶4。

3、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第二象限，点B在x轴负半轴上，△OABk

的面积是9，P是AB中点，若函数y＝（x<0）的图像经过点A、P，则k的值为（ ）

x（A）-6 （B）-4（C）-3（D）-2

1

设点A坐标为（m，n），点B（a，0），∵S△OAB=9，∴－an＝9，

2

m＋an

∵P是AB的中点，∴点P坐标为（，），∵k＝xy，∴代入A、P坐标得：

22(m＋a)n(m＋a)n

k＝mn，k＝，∴mn＝，∴3mn＝an，∵－an＝18，∴mn＝－6

44

∴k＝－6

（本例考点为点与函数的关系、中点坐标的应用，中点坐标是解压轴题的重要工具）

※ 同类测试题：如在直角坐标系中，存在一个平行四边形，其中平行四边形的三个项点的坐标为（1，3），（2，2）和（3，4），求另一顶点的坐标？版权所有

4、对于任意的有理数a，方程2x2＋(a＋1)x－(3a2－4a＋b)＝0的根总是有理数，则b的值为（ ）

（A）1 （B）-1（C）2（D）0

解：方程的△＝(a＋1)2＋8(3a2－4a＋b)＝(5a－3)2＋8b－8≥0，∴当8b－8≥0时， 必定△≥0，即方程必有实根，∴b≥1，当b＝1时，3a2－4a＋1＝(3a－1)(a－1)， ∴十字因式分解得方程为（(x－a＋1)(2x＋3a－1)＝0，∴b＝1成立，

当b＝2时，3a2－4a＋b＝3a2－4a＋2不能因式分解，∴方程有可能为无理数解， （在一元二次方程中，运用方程的判别式和因式分解是解决方程有理根和整数根 重要工具，）

※同类测试题：使得m2＋m＋7是完全平方数的所有整数m的积的值。

5、如图，△ABC内接于⊙O，过BC的中点D作直线l∥AC，l与AB交于点E，与⊙O交于点

G、F，与⊙O在点A处的切线交于点P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长度为（ ） （A）2 （B）5（C）6（D）7 P 解：∵BD=CD，DE∥AC，∴AE=BE，又PE=EF， G ∴四边形PBFA是平行四边形，∴PA=BF，PB∥AF，PF∥AC A E ∴∠BPF=∠FAC，又∠FBC=∠FAC，∴∠FBC=∠BPF， DFBF B D C ∴△BFD∽△PFB，∴＝，∴BF2＝DF2PF=6。 BFPF

∴PA=BF=6 。

（考点为中位线、平行四边形的判定，与圆有关的角的运用在解决圆问题中，具有相当重要的地位）

6、如图，已知锐角∠A=∠B，AA1、PP1、BB1均垂直于A1B1，垂足分别是A1、P1、B1，且AA1=17，AP+PB=13，BB1=20，A1B1=12，则PP1的长度为（ ）2-1-c-n-j-y （A）13 （B）14（C）15（D）16

B

A M P N

F E

B1A1P1

延长BP并AA1于E，过P作MN∥A1B1，∵AA1∥BB1，∠AEP=∠B=∠A，∴PA=PE ∴BE=PB+PA=PB+PE=13，EF=A1B1＝12，∴BF=BE2－EF2＝132－122＝5，

∴B1F＝BB1－BF=20-5=15，∴EA1＝15，∴AE=2，∴ME=1，∴PP1＝MA1＝16 二、填空题（共6题，每题4分，共24分）

3

7、已知a是方程x2－3x＋1＝0的根，则2a2－5a－2＋2的值为 。

a＋11

∵a2－3a＋1＝0，∴a2＋1＝3a，a＋＝3

a

31

∴原式=2(a2－3a＋1)＋a－4＋＝a＋－4＝3－4＝－1，

3aa

（本例代数的整式运算法，即以代数多项的值参与运算，而代数多项需根题型进行配制）

3＋51110

※同类测试：已知x＝，求x＋x5＋5＋10的值。

2xx

111

8、“*”表示一种运算，规定x*y＝－。若1*3＝，则2013*2014= 。

xy(x＋1)(y＋A)12111

1*3＝－＝，解得A＝－1，

1×3(1＋1)(3＋A)12 2013*2014=

11

－＝0

201332014(2013＋1)(2014－1)

F

9、如图，Rt△ABC的硬纸片，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，AD为BC边上的高，从这张硬纸片上剪下一个如图所示的内接正方形EFGH，则正方形EFGH的边长为 .

解：由勾股定理得AC=4，由面积公式得AB2AC=BC2AD，

A H

G

12HGAH∴AD=，设正方形的边长为x，∵HG∥BC，∴＝，

5BCAB

HEBH

∵HE∥AD，∴＝，

ADAD

F C B E D xxAH＋BH60

两式相加得：＋＝＝1，解得x＝。

512AB37

5

10、如图，在△ABC中，AB=AC，CM平分∠ACB，与AB交于点M，AD⊥BC于点D，ME⊥BC于点E，MF⊥MC与BC交于点F，若CF=10，则DE=

A 解：取CF的中点G，连接MG，设DE=x，EF=y， M

可得DC=CF-EF-DE=10－x－y，∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC=10－x－y，BE=BD-DE=10－2x－y??①

C ∵ FG=CG=5，∴EG=FG-EEF=5－y??②21教育网 B F E G D

∵MG是Rt△MFC斜边上的中线，∴∠FGM=2∠BCM=∠ACB

5

∠FGM=∠B，又ME⊥BG，∴BE=EG，∴由①、②得10－2x－y＝5－y，∴x＝ 2

（本例题中信息量较多，容易使从误入歧途而不得解，但题中只有一个已知量即CF ED又在CF上，所以我们可设想在BC上存在某个隐性变量，只要消去此变量即可） 11、已知a，b是不为零的实数，对于任意实数x，y，都有

(a2＋b2)(x2＋y2)＋8bx＋8ay－k2＋k＋28≥0其中k是实数，则k的最大值为 . 解：不等式由两部分组，即(a2＋b2)(x2＋y2)＋8bx＋8ay与－k2＋k＋28， 前者决定后者，

(a2＋b2)(x2＋y2)＋8bx＋8ay＝a2x2＋a2y2＋b2x2＋b2y2＋8bx＋8ay＋(2abxy－2abxy) ＝(ay＋bx)2＋(ax－by)2＋8(ay＋bx)＝(ay＋bx＋4)2＋(ax－by)2－16，

∴当－k2＋k＋28≥－16时，不等式恒成立，∴k2－k－12≤0，解得－3≤k≤4 ∴k的最大值为4，

（本例是代数求值中非负法的应用，即代数式表达成平方式，）

※同类测试题：实数x,y满足方程3(x2＋2x＋3)(3y2＋2y＋1)＝4 求x ，y的值

12、一个平面把空间分为2个部分，两个平面最多把空间分成4个部分，三个平面最多把空间分为 个部分，四个平面最多把空间分成 个部分. 三、解答题（共4题，每题13分，共52分）

13、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像与x轴有两个交点A(-1,0)，B（n，0），交y轴于点C（0，p），已知p＝－3a(n－2).2·1·c·n·j·y （1）求点B坐标；

（2）若抛物线上存在点M，使△ABM为直角三角形，求a的取值范围.

⑴ 解：∵x＝－1，x＝n是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，故令函数为：y＝a(x＋1)(x－n) 展开得y＝ax2＋(a－an)x－an，∴当x＝0时，p＝－an，又已知p＝－3a(n－2) ∴－an＝－3a(n－2)，得n＝3，∴点B坐标（3，0）， ∴y＝a(x2－2x－3) ⑵由⑴得AB=4，当∠AMB=900时，则AB是△AMB的外接圆的直径， ∴圆心N坐标为（1，0），设点M坐标（m，n），∴MN2＝(m－1)2＋n2＝22＝4?①， ∵点M是抛物线上的点，∴a(m2－2m－3)＝n??②，由①得：m2－2m－4＝－n2， 111

代入②得：－n22a＝n，∴n＝－，代入①得(m－1)2＝4－2，∴4－2≥0，

aaa111

∴a2≥，得a≤－（∵a＞0，故舍去），a≥。

422

（根与函数系式的关系、两点距离的的确应用，它们都是解压轴题的基础和工具）