x?a??1的根是正数，求a的取值范围。 x?21x?2例9：若分式与的2倍互为相反数，则所列方程为___________________________；

x?2x?3mxx?1??例10：当m为何值时间？关于x的方程2的解为负数？ x?1x?2x?x?2例8：已知关于x的方程例11：解关于x的方程

b?xa?2?x?ba(a?0)

例12：解关于x的方程:

x?1x?12a??2(a?0) 2a?ba?ba?b例13：当a为何值时,

x?1x?22x?a??的解是负数? x?2x?1(x?2)(x?1)?x?2y?3xx2?y22x?2例14：先化简,再求值:,其中x,y满足方程组 ???2?2x?yx?y(x?y)?x?y??2例15知关于x的方程

x?1xm??的解为负值，求m的取值范围。 x?2x?1(x?2)(x?1)练习题： (1)

141353x?2?2????0 (3) (2) 2x?4x?161?X1?Xx?1x(x?1)1?X(4)

xx?2115x?42x?51??2?? (6) (5) x?5x?6x?1x?12x?43x?6211?x121231?3???2??3 (7) (8） （9） x?22?xx?33?xx?92x?21?x13、分式方程的增根问题：

（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

xm+1=有增根，则m= x?3x?3k4?x?2?例2：当k的值等于 时，关于x的方程不会产生增根； x?3x?3例1：分式方程

2mx3?2?例3：若解关于x的分式方程x?2x?4x?2会产生增根，求m的值。

xm?2?会产生增根； x?3x?3xm2?2?例5：若关于x的分式方程无解，则m的值为__________。 x?3x?3xkx???0有增根. 例6：当k取什么值时？分式方程

x?1x?1x?1例4：m取 时，方程

x?1m?有增根，则m的值是（ ）A．4 B．3 C．-3 D．1 x?4x?43a4??例8：若方程有增根，则增根可能为（ ） x?2xx(x?2)例7：若方程

A、0 B、2 C、0或2 D、1

14、分式的求值问题：

a1a?b?，分式的值为 ； b32a?5b11?例2：若ab=1，则的值为 。 a?1b?1112例3：已知a??3 ，那么a?2?_________ ；

aa例1：已知例4：已知

7272115x?xy?5y的值为（ ）A ? B C D ? ??3，则

2727xyx?xy?yxyy2例5：已知2x?3y，求2的值； ?222x?yx?yaa2?ab?b2例6：如果=2，则=

ba2?b2ab4x与的和等于2，则a= , b = 。 x?2x?2x?4111例8：若xy?x?y?0，则分式??（ ）A、 B、y?x C、1 D、－1

yxxyx?24x1（?2）?2例9：有一道题“先化简，再求值：，其中x??3。”小玲做题时把“x??3”x?2x?4x?4例7：已知

错抄成了“x?3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

1a2?1

例10：有这样一道数学题:“己知:a=2005,求代数式a(1+)－的值”,王东在计算时错把“a=2005”

aa?1

抄成了“a=2050”，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。

x2?2x?1x?1?2?x的值，其中x?2007”例11：有这样一道题：“计算：，某同学把x?2007错抄2x?1x?x成x?2008，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？

1x2例题：已知x??3，求4的值。

xx?x2?1

15、分式的应用题：

（1）列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．

（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：

a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． b.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题： 基本公式：工作量=工时×工效． d.顺水逆水问题: v

顺水

=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．

工程问题：

例1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要______ 小时。

例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ） A

120180120180120180120180???? B C D x?6xx?6xxx?6xx?6例3：某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日 期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期 为x天,下面所列方程中错误的是( ) A.

2x231x1?x?2?1??1; B.???1 ; C.??; D.?2??1?xx?3xx?3xx?3xx?3x?3??111ab? （C） （D） aba?ba?b例4：一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数 是（ ）．（A）a?b （B）

例5：赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21

页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是（ ）

1401402802801010140140??14 B、??14 B、??1 D、??14 xx?21xx?21xx?21xx?21例6：某煤厂原计划x天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，

A、

列出方程为（ ） A

120120120120120120120120??3 B ??3 C ??3 D ??3 x?2xxx?2x?2xxx?272?x1?；x3例7：某工地调来72人参加挖土和运土工作，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派x人挖土．列方程①②72?x?xx?3． ；③x?3x?72；④

372?x例8：八（1）、八（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（2）班多种2棵树，

八（1）班种66棵树所用时间与八（2）班种60棵树所用时间相同，求：八（1）、八（2）两班每小时各种几棵树？

例9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？

例10：服装厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好可以按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应比原计划多做多少件？

例11：为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间？

例12：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共4350元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共4750元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的

2，厂家需付甲、丙两队共2750元。 3（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

价格价钱问题： 例1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x人，则所列方程为 （ ） A．

180180180180180180180180??3 B．??3 C．??3 D．??3 xx?2x?2xxx?2x?2x例2：用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为x元，?则根据题意可列方程为________．

例3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

例4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？

例5：随着IT技术的普及，越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出72万元购买电脑，由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了500元，因此实际支出了64万元.学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用4节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？(该校上微机课时规定为单人单机)

例6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是：1名教师收行业统一规定的全票，其余的人按7.5折收费，乙公司则是：所有人全部按8折收费．经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜

1，那么参加活动的学生人数是多少人？ 32

例7：北京奥运“祥云”火炬2008年5月7日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、 进步的“和平之旅”，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求， 商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销 售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，请问在这两笔生意 中，商厦共赢利多少元？

顺水逆水问题：

例1：A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9 小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ） A、

48484848489696??9 B、??9 C、?4?9 D、??9 x?4x?44?x4?xxx?4x?4例2：一只船顺流航行90km与逆流航行60km所用的时间相等，若水流速度是2km/h，求船在静水中的速

度，设船在静水中速度为xkm/h，则可列方程（ ）

9060906090606090A、x?2=x?2 B、x?2=x?2 C、x+3=x D、x+3=x

例3：轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。

行程问题：

例1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这 段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A、

v1?v2vv2v1v2千米 B、12千米 C、千米 D、无法确定 2v1?v2v1?v2例2：甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙．那

么甲的速度是乙的速度的（ ） Ａ．

a?b倍 b Ｂ．

b倍 a?b Ｃ．

b?a倍 b?a Ｄ．

b?a倍 b?a

例3：八年级A、B两班学生去距学校4.5千米的石湖公园游玩，A班学生步行出发半小时后，B班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的3倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？

例4：A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。

例5：甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。

数字问题：

例1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于

1,求这个分数. 4

例2：一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7：4，求原来的两位数。

例3：一个分数的分母加上5，分子加上4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。

例4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，个位上的数字加上8以后去除这个两位数时， 所得到的商是2，求这个两位数。

16、公式变形问题：