【分析】(1)作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题； (2)作PN⊥AB于N.连结PB，根据S＝S△PQB＋S△BCP，计算即可；

QN

(3)当PQ⊥BD时，∠PQN＋∠DBA＝90°，∠QPN＋∠PQN＝90°，推出∠QPN＝∠DBA，推出tan∠QPN＝＝

PB3

，由此构建方程即可解决问题； 4

(4)存在．连结BE交DH于K，作KM⊥BD于M.当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，推出KH＝KM，BH＝BM8222

＝8，设KH＝KM＝x，在Rt△DKM中，(6－x)＝2＋x，解得x＝，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，推

3344KH

出EF＝PN＝(10－2t)，AF＝QN＝(10－2t)－2t，推出BF＝16－[(10－2t)－2t]，由KH∥EF，可得＝555EFBH

，由此构建方程即可解决问题； BF

【自主解答】

解决点动产生的计算说理题，关键是抓住点，由点到线段再到图形．此类问题涉及计算与说理，计算时常常用到勾股定理、三角函数、面积计算等相关知识，说理时往往较综合，涉及几何图形的相关性质与判定方法等，有时需要借助函数解决．

3．(2018·浙江衢州中考)如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为(6，8)，直线CD交AB于点D(6，3)，交x轴于点C(12，0)． (1)求直线CD的函数表达式；

(2)动点P在x轴上从点(－10，0)出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t.

①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA＝∠B，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．

类型四 图形运动变化过程中的分类讨论问题

2

(2018·江苏淮安中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋4的图象与x轴和y轴分

3

别相交于A，B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒． 1

(1)当t＝秒时，点Q的坐标是 ；

3

(2)在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式； (3)若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT＋PT的最小值．

【分析】(1)先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；

(2)分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；

(3)先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT＋PT最小时的点T的位置，即可得出结论． 【自主解答】

图形运动中会产生不同的位置、形成不同的图形形状、对应关系也会随着图形的变化而改变，所以在解决此类问题时，要注意分类讨论，分类讨论可以根据点的位置不同、图形的形状、对应关系等为依据，但分类讨论容易遗漏，解题时要特别关注．

4．(2018·湖南衡阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm，动点P从点C出发以1 cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以2 cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t(s)．

(1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？

(2)是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3)以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．

参考答案

类型一

【例1】 (1)由题可知当y＝0时，a(x－1)(x－3)＝0， 解得x1＝1，x2＝3，即A(1，0)，B(3，0)， ∴OA＝1，OB＝3.

∵△OCA∽△OBC，∴OC∶OB＝OA∶OC， ∴OC＝OA·OB＝3，则OC＝3.

(2)∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线， 3

∴OC＝BC，∴点C的横坐标为. 2又OC＝3，点C在x轴下方， 33

∴C(，－)．

22

设直线BM的表达式为y＝kx＋b，

3k＋b＝0，??33

把点B(3，0)，C(，－)代入得?33 22k＋b＝－，?2?23?

?k＝，33解得?∴y＝x－3.

3

??b＝－3，

33333又∵点C(，－)在抛物线上，代入抛物线表达式得a(－1)(－3)＝－，

2222223

解得a＝，

3

23283

∴抛物线表达式为y＝x－x＋23.

33

2