高中数学总复习历年考点知识专题训练(理科)24 下载本文

头胎为女孩 头胎为男孩 合计 60 200 (2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了5户,进一步了解情况,在抽取的5户中再随机抽取3户,求这3户中恰好有2户生二孩的概率. 附:

P?K2?k? 0.15 2.072 0.05 3.841 0.01 6.635 0.001 10.828 k 2n(ad?bc)2K?(其中n?a?b?c?d).

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)【解析】(1)因为头胎为女孩的频率为0.5,所以头胎为女孩的总户数为200?0.5?100. 因为生二孩的概率为0.525,所以生二孩的总户数为200?0.525?105.

2?2列联表如下:

头胎为女孩 头胎为男孩 合计 生二孩 60 45 105 不生二孩 40 55 95 合计 100 10 200 200(60?55?45?40)2600K???4.511?3.841,

105?95?100?1001332故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关. (2)在抽取的200户家庭的样本中,

按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了5户,则这5户家庭中,生二胎的户数为3,分别记为A,B,C,不生二孩的户数为2,分别记为a,b.从这5户家庭中随机抽取3户有

(A,B,C),(A,B,a),

(A,B,b),(B,C,a),(B,C,b),(A,C,a),(A,C,b),(A,a,b),(B,a,b),(C,a,b),

共10种情况,

其中恰好有2户生二孩的有(A,B,a),(A,B,b),(B,C,a),(B,C,b),(A,C,a),(A,C,b),故6种情况,故所求概率为

63?. 1052220.(12分)如图,设抛物线C1x?y与C2:y?2px?p?0?的公共点M的横坐标为

t?t?0?,过M且与C1相切的直线交C2于另一点A,过M且与C2相切的直线交C1于另

一点B,记S为?MBA的面积.

(Ⅰ)求p的值(用t表示); (Ⅱ)若S??,2?,求t的取值范围.

4注:若直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行也不重合,则称该直线与抛物线相切.

2【解析】(Ⅰ)因点M在抛物线C1:x?y上,故Mt,t?1??????t?0?,又点M在抛物线C22:

y?2px?p?0?上,故?t222?t3?2pt,则p?

22?y?k(x?t)?t,2(Ⅱ)设点A?x1,y1?,直线MA的方程为y?k?x?t??t,联立方程组?2消

x?y,?去y,得x2?kx?kt?t2?0,则??k?4kt?t2?2???k?2t?2?0,因此k=2t,即直线

2MA的方程为y?2tx?t

y1?t2y1?t2t3?tt2?k??2??2tt22则直线MA的斜率,从而y1??,即A?,??,同y1x1?ty1?t?t2?42?3t?tt2?tt2理,直线MB的方程为y?x?,点B??,?,因此

22?24?2?tt2?tt2t3tt2?t?MB?1?????t?1?,点A?,??到直线MB:x?y??0的距

22224?42??2?离d?tt?t2?t2??????24?2?2?t????1?2?2?9t28,故?MBA的面积2t?149t23113tt227t38?1?27tS?MBd??1???S?,2?,即,即,因为S??2224324t2??32?14?24?127t3t?,?. ,解得??2?3?3?43221.(12分)已知函数f?x??(Ⅰ)讨论f?x?的单调性;

(Ⅱ)若f?x?存在极值,求所有极值之和的取值范围.

121x?2x?alnx,a?.

e2ax2?2x?a. 【解析】(Ⅰ)定义域:?0,???,f'?x??x?2??xx①当a?1时,f'?x??0,f?x?在?0,???单调递增; ②当

1?a?1时,令f?x??0,则f?x?在0,1?1?a,1?1?a,??x?1?1?a,e????单调递增,在1?1?a,1?1?a单调递减. (Ⅱ)由(I)知,当a?1是,f?x?没有极值点.当别记为x1,x2,则x1?x2?2,x1x2?a.

??1?a?1时,f?x?有两个极值点,分ef??x1??f?x2??1212x1?2x1?alnx1?x2?2x2?alnx2 221?2x1?x2??2x1x2??2?x1?x2??alnx1x2,又x1?x2?2,x1x2?a,所以??2?f?x1??f?x2??1?1??4?2a??4?alna?alna?a?2,且a??e,1?,设2???1?g?a??alna?a?2,g'?a??lna?0,∴g?a?在?,1?单调递减.

?e?2?1?111g?a?max?g???ln??2???2,g?a?min?g?1???3.所以所有极值之和的取

e?e?eee值范围为??3,???2??2?. e? (二)、选考题:共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

2222.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:x?y?2y,以O为极点,x轴的正半

轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为???????????. 242?sin?cos??cos??1(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;

(2)设点M??,??在曲线C2上,直线OM交曲线C1于点N,求OM?ON的最小值.

?x2?y2??2【解析】(1)将?代入x2?y2?2y得,??2sin?,所以曲线C1的极坐标方

?y??sin?程为??2sin?.

曲线C2的方程可化为?sin?cos???cos即xy?x?1?x?0?,得y?x?2222????????1????,??,

42????11所以C2的直角坐标方程为y?x??x?0?; ?x?0?,

xx(2)由(1)及题设条件知,OM?1sin?cos??cos?2,ON?2sin?,其中

???????,?, 42??22????4sin2?4tan2???所以OM?ON?,令,因为t?tan??1??,?,2?42?sin?cosa?cos?tan??1所以tan??1,所以t?0,所以

4?t?1?1?1?当且仅当t?1,即tan??2,OM?ON??4?t???8?4?2t??8?16,

tt?t?222???????,?时等号成立.所以OM?ON的最小值为4. 42??23. (10分)已知函数f(x)?|x?2|?|x?3|. (1)解不等式f(x)?3x?2;

(2)若函数f(x)最小值为M,且2a?3b?M(a?0,b?0),求【解析】(1)当x??2时,?x?2?x?3?3x?2,即x?13?的最小值. 2a?1b?13,无解;当?2?x?3时,577即?x,得?x?3;当x?3时,即x?1,x?2?x?3?3x?2,x?2?x?3?3x?2,33得x?3.故所求不等式的解集为?,???.

(2)因为f(x)?|x?2|?|x?3|?|(x?2)?(x?3)|?5,所以2a?3b?5(a?0,b?0),则2a?1?3(b?1)?9,

?7?3??131?13?1?3(b?1)3(2a?1)?16????[2a?1?3(b?1)]?10??????92a?1b?19?2a?1b?1?9?2a?1b?1?

?2a?1?b?1,?a?5,??13?168当且仅当?2a?3b?5,即?时取等号.故的最小值为 ?92a?1b?1?b?5?a?0,b?0,??4?