第五章 相交线与平行线

相交线

相交线

邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 对顶角 图形 ∠1与∠2 2 1 顶点 有公共顶点 边的关系 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 大小关系 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 ∠3与∠ 4 43有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 注意点： （1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角； （3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角； （4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角． 错解：如图， 对顶角为：（1）∠AOC与∠BOD ；

（2）∠AOF与∠BOD ； （3）∠COF与∠DOE ； （4）∠AOC与∠BOE ．

错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致（2）和（4）错误．如果对对顶角的概念没有真正理解

和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 ．

正解：（1）∠AOC与∠BOD ；（2）∠BOE与∠AOF；（3）∠COF与∠DOE；

（4）∠COE与∠DOF．（答案不唯一：∠ AOE 与∠BOF，∠BOC与∠AOD也是对顶角）

垂线

1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 符号语言记作：

C 如图所示：AB⊥CD，垂足为O

2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.

B A O

4、点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

D

同位角、内错角、同旁内角

两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图，直线a,b被直线l所截

1、∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线a,b的上方， 叫做同位角（位置相同）

2 1 3 4

6 5 7 8

2、∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线a,b之间（内），叫做内错角（位置在内且交错） 3、∠5与∠4在截线l的同侧，在被截直线a,b之间（内），叫做同旁内角.

例：

A D 3 4 1 2

如图，判断下列各对角的位置关系： （1）∠1与∠2；（2）∠1与∠7；（3）∠1与∠BAD；（4）∠2与∠6；（5）∠5与∠8. 解：我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图.

6 5 7 1与∠F B 如图所示，不难看出∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；C 8

∠5与∠8对顶角. 9 E

A A A D 2 A D A 2

F 注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？

不是，∵∠2与∠. 5 98的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成6

C

C

1 1 1 7 平行线及其判定B B B F B E C F

B

平行线

1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b. 2、两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（∵两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，∵b∥a，c∥a ∴b∥c

注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都

平行. 例：同一平面内，不相交的两条线是平行线. 错解：对 ．

错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不明确．若是射线或线段有可能不相

交.∴说法是错误的 ．

正解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线 ．

平行线的判定

判定方法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行

判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行

判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 E 几何符号语言： A 3 B ∵ ∠3＝∠2

4 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 1

∵ ∠1＝∠2 C 2 D ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∵ ∠4＋∠2＝180° F ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 例：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正： （1）不相交的两条直线必定平行线.

（2）在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交. （3）过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行 解：（1）错误.平行线是在“同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏. （2）正确

（3）错误.正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.∵如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.

例：如图，由条件∠2＝∠B，∠1＝∠D，∠3＋∠F＝180°，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？ A D 解：（1）由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；

（2）由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；

1 F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行. （3）由∠3＋∠ 平行线的性质 2 3 B E C F

平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. E 几何符号语言： A 3 B ∵AB∥CD

4 ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） 1

∵AB∥CD C 2 D ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∵AB∥CD

F ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

例：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C A 证明：∵∠1＝∠B（已知）

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行） ∴∠2＝∠C（两直线平行，同位角相等） 2 E D 1 B C