2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、下列各极限正确的是 （ ）

1xA、lim(1?)?e

x?0x2、不定积分

1B、lim(1?)x?e

x??x1C、limxsinx??11?1 D、limxsin?1

x?0xx?

11?x2 dx? （ ）

A、

11?x2B、

11?x2?c C、arcsinx D、arcsinx?c

3、若f(x)?f(?x)，且在?0,???内f'(x)?0、f''(x)?0，则在(??,0)内必有 （ ） A、f'(x)?0,f''(x)?0 C、f'(x)?0,f''(x)?0 4、

B、f'(x)?0,f''(x)?0 D、f'(x)?0,f''(x)?0

?20 x?1dx? （ ）

B、2

22A、0 C、－1 D、1

5、方程x?y?4x在空间直角坐标系中表示 （ ） A、圆柱面

B、点

C、圆

D、旋转抛物面

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

?x?tetdy6、设?，则2dx?y?2t?t'''t?0?

7、y?6y?13y?0的通解为 8、交换积分次序

?dx?022xxf(x,y)dy? y9、函数z?x的全微分dz? 1

10、设f(x)为连续函数，则

?1?1[f(x)?f(?x)?x]x3dx?

三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知y?arctanxx?ln(1?2x)?cos2?5，求dy.

12、计算limx?0x??etdt0x2sinx.

13、求f(x)?(x?1)sinx的间断点，并说明其类型. 2x(x?1)lnydy，求xdxx?1,y?114、已知y?x?2.

e2xdx. 15、计算?1?exk1dx?，求k的值. ???1?x22016、已知

17、求y'?ytanx?secx满足y18、计算

x?0?0的特解

2sinydxdy，D是x?1、y?2、y?x?1围成的区域. ??D19、已知y?f(x)过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线2x?y?3?0，若

f'(x)?3ax2?b，且f(x)在x?1处取得极值，试确定a、b的值，并求出y?f(x)的表达式.

?zx?2z20、设z?f(x,)，其中f具有二阶连续偏导数，求、.

?x?x?yy2四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过P(1,0)作抛物线y? （1）切线方程； （2）由y?x?2的切线，求

x?2，切线及x轴围成的平面图形面积；

（3）该平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周的体积。

2

?f(x)?22、设g(x)??x??ax?0x?0，其中f(x)具有二阶连续导数，且f(0)?0.

（1）求a，使得g(x)在x?0处连续； （2）求g'(x).

23、设f(x)在?0,c?上具有严格单调递减的导数f'(x)且f(0)?0；试证明： 对于满足不等式0?a?b?a?b?c的a、b有f(a)?f(b)?f(a?b).

24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润？

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案

1、C 2、D 3、B 4、D 5、A 6、2

7、y?e(C1cos2x?C2sin2x)，其中C1、C2为任意实数 8、

3x?20dy?yf(x,y)dx??dy?yf(x,y)dx

222y429、yxy?1dx?xylnxdy 10、

64 5?112xlnx?11、dy???1?x?2x?1?2x??dx

??12、?1 313、x??1是第二类无穷间断点；x?0是第一类跳跃间断点；x?1是第一类可去间断点.

1e2xe2x?ex?exxxdx?dx?e?ln(1?e)?C14、1 15、? 16、 xx??1?e1?e??tanxdx??tanxdxsecx?e?dx?C??e?lncosx17、y?e????????secx?elncosxdx?C??x?C， cosxyx?0?0?0?Cx?C?0?y?. cos0cosx21?y01218、解：原式??sinydy?dx?1?cos4 2 3

19、解：“在原点的切线平行于直线2x?y?3?0”?f'(x)x?0??2即b??2

b2? 33又由f(x)在x?1处取得极值，得f'(1)?0，即3a?b?0，得a??故f'(x)?2x2?2，两边积分得f(x)?所以c?0，所以y?f(x)?23x?2x?c，又因曲线y?f(x)过原点， 323x?2x 3?z1?2z2x2''x1''20、?f1?2x?f2?， ??2f12?3f''22?2f'2

?xy?x?yyyy21、（1）2y?x?1?0；（2）

1?6；（3）Vx?，Vy?? 365f'(?x)??x?f(?x)f'(?x)??x?f(?x)22、?lim ?lim2?x?0?x?01(?x)f''(?x)??x?f'(?x)?f'(?x)f''(?x)??x1''?lim?lim?f(0). ?x?0?x?02?x2?x223、由拉格朗日定理知：

f(a?b)?f(b)?f'(?1) (b??1?a?b)，

af(a)?f(0)?f'(?2) (b??2?a)

a'''由于f(x)在(0,c)上严格单调递减，知f(?1)?f(?2)，因f(0)?0，故

f(a)?f(b)?f(a?b).

24、解：设每月每套租金为200?10x，则租出设备的总数为40?x，每月的毛收入为：

(200?10x)(40?x)，维护成本为：20(40?x).于是利润为：

L(x)?(180?10x)(40?x)?7200?220x?10x2 (0?x?40) L'(x)?0?x?11

比较x?0、x?11、x?40处的利润值，可得L(11)?L(0)?L(40)，

故租金为(200?10?11)?310元时利润最大

4

2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1、下列极限中，正确的是 （ ） A、 lim(1?tanx)x?0cotx?e ?e

B、 limxsinx?01?1 x1nC、 lim(1?cosx)x?0secxD、 lim(1?n)?e

n??2、已知f(x)是可导的函数，则limh?0f(h)?f(?h)? （ ）

hC、2f?(0)

D、2f?(x)

A、f?(x) B、f?(0)

3、设f(x)有连续的导函数，且a?0、1，则下列命题正确的是 （ ） A、C、

?f?(ax)dx?1f(ax)?C aB、D、

?f?(ax)dx??f?(ax)dx?f(ax)?C f(x)?C

?f?(ax)dx)??af(ax)

exdx B、

1?e2x4、若y?arctanex，则dy? （ ）

1dx A、2x1?eC、

11?e2xdx D、

ex1?e2xdx

5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是 （ ） A、y2?x B、??x?y?z?0x?2y?4z C、== D、3x?4z?0

27?3?x?2y?z?16、微分方程y???2y??y?0的通解是 （ ） A、y?c1cosx?c2sinx B、y?c1e?c2e C、y??c1?c2x?ex2x?x D、y?c1e?c2e

x?x7、已知f(x)在???,???内是可导函数，则(f(x)?f(?x))?一定是 （ ） A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、不能确定奇偶性

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